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Integration einer Funktion dT/dt

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentiation, Gewöhnliche Differentialgleichungen

studentfh aktiv_icon

14:49 Uhr, 07.11.2009

Hallo!

Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe und zwar:
$\frac{d T}{d t} = - \frac{1}{t_{0}} (T - T_{u})$

wobei Tu und t0 jeweils konstant sind.

Es geht also quasi um eine zeitliche Ableitung der Temperatur nach der Zeit.

Mir ist jetzt aber nicht klar wo ich da ableiten oder integrieren soll.

Am Ende soll das hier rauskommen:

$\frac{T - T_{u}}{T_{o} - T_{u}} = e^{- \frac{t}{t_{0}}}$

wobei für t = 0 gilt:

$T = T_{0}$

Kann mir jemand einen Lösungsweg beschreiben?
Ausführlichkeit wäre toll :)

grüße studentfh

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

OmegaPirat

15:06 Uhr, 07.11.2009

einfach durch separation
$\frac{d T}{d t} = - \frac{1}{t_{0}} \cdot (T - T_{u})$
$\Rightarrow$
$\frac{1}{T - T_{u}} d T = - \frac{1}{t_{0}} \cdot d t$
und jetzt nur noch integrieren.
oder aber wie es der mathematiker lieber hat
$\frac{d T}{d t} = - \frac{1}{t_{0}} \cdot (T - T_{u})$
$\Rightarrow \frac{1}{T - T_{u}} \frac{d T}{d t} = - \frac{1}{t_{0}}$
$\Rightarrow \frac{d}{d t} \int (\frac{d T}{T - T_{u}}) = - \frac{1}{t_{0}}$ Dabei wurde die kettenregel verwendet.