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Integration einer Funktion zweier Variablen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Integration

Tags: Integration

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16:13 Uhr, 18.09.2022

Sehr geehrte Mathematiker,

könnte mir jemand vielleicht erklären wie ich diese Integrale löse? Beim ersten Bild ist lautet die Funktion

g (x, y) = 1

wenn ich die Stammfunktion bilden würde
so hätte ich ja eine von

x

und

y

abhängige Funktion

G (x, y) = x \cdot y

in der ich die Grenzen einsetze. Ich habe das mal versucht zu lösen und zunächst erst nach

y

integriert, sodass ich eine x-wertige Funktion rausbekomme und danach nach

x

integriert wenn ich bei beiden die Grenzen 1 und 2 eintrage komme ich auf eine Fläche von 1.

Beim 2. Bild (Scheibe) bin ich mir total unsicher wie das zu rechnen ist. Soweit ich das verstanden habe liegen 2 Funktionen vor zwischen denen eine "Scheibenfläche" vorliegt aber da hört auch schon mein Verständnis wieder auf. Integriere ich jetzt die Funktion

x^{2} + y^{2}

und setze die Grenzen 1 und 2 ein? Soll ich auch hier zuerst nach

y

integrieren und dann nach x? Und in wie fern soll ich Polarkoordinaten verwenden?

Wäre toll wenn ihr mir auch einige Tipps zum lösen geben könnten, sodass ich das Prinzip hinter der Aufgabe verstehe.

Liebe Grüße

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

17:05 Uhr, 18.09.2022

>so hätte ich ja eine von

x

und

y

abhängige Funktion G(x,y)=x⋅y in der ich die Grenzen einsetze.
Warum denn?

>

wenn ich bei beiden die Grenzen 1 und 2 eintrage
und warum das? Sowohl

x,

als auch

y

können doch auch Werte im Bereich von 0 bis 1 annehmen. Es muss nur

1 \leq x + y \leq 2

gelten und natürlich

x, y \geq 0

.

Wenn du

x

zB von 0 bis 2 laufen lässt, dann kann

y

im Bereich

max (1 - x,0)

bis

2 - x

variieren.

Also

A = \int_{0}^{2} \int_{max (1 - x,0)}^{2 - x} 1 d y d x = \int_{0}^{1} \int_{1 - x}^{2 - x} 1 d y d x + \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 - x} 1 d y d x = \frac{3}{2}

pivot aktiv_icon

17:08 Uhr, 18.09.2022

Hallo,

erst einmal zu 7.):
Du hast zwei Funktionen deren Integral (Fläche) du separat berechnen kannst:

f_{1} (x) = 2 - x, \forall 0 \leq x \leq 2

f_{2} (x) = 1 - x \forall 0 \leq x \leq 1

.

Dann das Integral von

f_{2} (x)

von

f_{1} (x)

abziehen.

Der Hinweis bezieht sich auf die Differenz der Funktionen:

2 - x - (1 - x) = 1

. Jedoch muss man noch die Grenzen berücksichtigen, die unterschiedlich sind.

Gruß
pivot

N8eule

17:11 Uhr, 18.09.2022

Hallo
Deine Aufgabenbeschreibung

7 .)

ist (mindestens für meinen Geist) widersprüchlich verwirrend.
Du kannst

7.1)

Der ersten Zeile folgend die 'Graue Fläche im ersten Quadranten durch Integration berechnen'.
Brauchst du dazu Hilfe? Ich hoffe nicht.
Zur Kontrolle kannst du ja dein Ergebnis mit Kästchen-Zählen verifizieren.

oder

7.2)

diesen "Hinweisen" in der zweiten Zeile folgen. Da kann ich aber nicht helfen. Diesen "Hinweis" halte ich schlichtweg für abwegig unwert Glatteis-führerisch.

zur Aufgabe

1 .)

Auch die teilt sich offenkundig in

1.1)

Berechnen Sie die Fläche...!
Auch das wieder trivial Mittelschule.
Hier ist noch nicht mal Integration gefordert.
Da ich aus dem Zusammenhang ahnen mag, dass du doch Integration üben sollst, kannst du wiederum

>

integrieren

>

Mittelschul-üblich Kreisflächen rechnen
und das eine mit dem andern kontrollieren.
Nochmals - ich hoffe, da brauchst du nicht wirklich Hilfe.

1.2)

Berechnen Sie die Masse der Scheibe.
Tipp:

m = \int

rho(x;y)*dA

= \int ρ (x; y) \cdot d x \cdot d y

Hierbei habe ich mit

' ρ'

die benannte 'Dichte' formuliert,
also:

ρ (x; y) = (x + y)

Hilft das schon?
Zeig mal!
Lass einfach wissen, wenn's wo wie was klemmt...

PS: sorry - Browser-Verzug,
nimm einfach die dir hilfreichsten Hinweise...

Roman-22

17:23 Uhr, 18.09.2022

>

Diesen "Hinweis" halte ich schlichtweg für abwegig unwert Glatteis-führerisch.
Na,da hat unsere Eule mal wieder das Wörterbuch ausgepackt. Allerdings halte ich den Hinweis keineswegs für "abwegig", "unwert" oder gar "glatteisführerisch", denn ganz offenbar gehts um das Üben von Gebiets-/Mehrfachintegralen und die Fläche soll hier keineswegs schulmäßig oder gar durch Kästchenzählen ermittelt werden. Mit freiem Auge zu sehen, dass dieser Fläche die Maßzahl

1,5

zukommt, darf man im Studentenforum dem Fragesteller vielleicht doch zutrauten und er hat ja auch sein falsches Ergebnis 1 selbst infrage gestellt.
Die angegebene zu integrierende Funktion (der Aufgabenersteller hat vielleicht keine Möglichkeit gesehen, anstelle von

g

ein

ρ

zu schreiben) soll doch nur darauf hinweisen, dass man die gewöhnliche Fläche erhält, indem man eine homogene Dichte

ρ (x, y) = 1

annimmt.
Dass diese einfache Aufgabe der Flächenermittlung mit anderen Mitteln deutlich einfacher und schneller zu bewerkstelligen ist steht ja außer frage, aber das macht sie als Übungsaufgabe für Gebietsintegrale nicht weniger wertvoll. Ganz im Gegenteil - ist doch so das Ergebnis vom Übenden leichter zu kontrollieren.

N8eule

17:27 Uhr, 18.09.2022

kurz gesagt:
zum Aufgaben-gemäß "die graue Fläche" berechnen ist der Hinweis so überflüssig,
wie wenn ich eine Funktion

h (x; y) = x^{2} - ln (y)

hinzu definieren wollte,
oder den Hinweis gäbe, dass mein Nachbar gestern seinen Rasen gemäht hat...

Roman-22

17:29 Uhr, 18.09.2022

Noch kürzer: Der Kontext macht den Unterschied.
Die beiden Aufgaben machen doch recht deutlich, um welches Thema es hier geht, oder?

N8eule

17:31 Uhr, 18.09.2022

Selbst wenn unter "g" die Dichte gemeint sein sollte, ist dieser Hinweis zum "graue Fläche berechnen" so überflüssig, wie die mittlere Tagestemperatur vom vorletzten Jahr.

Roman-22

17:39 Uhr, 18.09.2022

>

Selbst wenn unter "g" die Dichte gemeint sein sollte, ist dieser Hinweis zum "graue Fläche berechnen" so überflüssig, wie die mittlere Tagestemperatur vom vorletzten Jahr.
Ich verstehe ja, dass du dich gezwungen siehst, deine vorherige Kritik an dem Hinweis zu verteidigen,
Dennoch ist dieser Hinweis keineswegs überflüssig, wenn man davon ausgeht, dass es aktuell im Unterricht um Mehrfachintegrale mit unterschiedlichsten Dichtefunktionen ging. Da kann es nicht schaden, den Studierenden durch diesen kleinen Hinweis darauf aufmerksam zu machen, dass auch die gewöhnliche Flächenberechnung hier mit einer homogenen Dichtefunktion zu bewerkstelligen ist. Das sollte seine Gedanken und Bemühungen in die richtige/gewünschte Richtung lenken.

Wenn du die Aufgabenstellung aber rabulistisch siehst und meinst, es sei ja nur die Flächenberechnung durch irgend eine Integration gefordert, dann magst du den Hinweis als Forderung nach einer bestimmten Berechnungsmethode sehen. In diesem Fall besteht der Sinn des Hinweises eben nicht in einer Hilfestellung, sondern vielmehr darin, einen ganz bestimmten Rechenweg einzufordern.

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