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Integration im Mehrdimensionalen

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Integration

Tags: Integration, mehrdimensionale Analysis, Mehrdimensionale Integration, Transformationsformel, Transformationssatz

 
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MatheStudent12345

MatheStudent12345 aktiv_icon

21:30 Uhr, 09.12.2022

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Aufgabe:
Sei Δ2:={xy(0+)2x+y1}, a. Verwenden Sie die Abbildung
J:22,
uvu*(1-v)u*v,
um Δ2dλ(xy)(x+y)a zu berechnen.

Mein Ansatz:
Ich gehe davon aus, dass wir das Integral mithilfe der mehrdimensionalen Substitution (Transformationsformel) berechnen sollen. Dies würde sinn ergeben, denn wenn wir x+y mithilfe von J substituieren erhalten wir u*(1-v)+u*v=u. Wenn im Nenner des Integrals nur u stehen würde, könnte man das Integral ganz normal berechnen.

Mein Problem:
Ich weiß leider nicht, wie man die Transformationsformel anwendet und finde im Internet leider auch keine Beispiele oder Sätze die mir das ganze verdeutlichen.

Vielen dank schonmal an alle, die sich mit dieser Aufgabe beschäftigen. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
HAL9000

HAL9000

14:14 Uhr, 10.12.2022

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J(u,v)=(u(1-v)uv)

ist eine bijektive (!) Abbildung J:[0,1]2Δ2. Mit der Jacobi-Matrix JJ=JJ(u,v) dieser Abbildung (sieht komisch aus, aber ich kann ja nichts dafür, dass ihr die Abbildung J nennt wie man dies üblicherweise eher mit der Jacobi-Matrix handhabt) gilt dann laut Transformationssatz

Δ2dλ(x,y)(x+y)a=[0,1]2dλ(u,v)uadet(JJ(u,v))(*).

Wo liegen nun deine Probleme:

1) Beim Aufstellen der Jacobi-Matrix JJ ?
2) Bei der Berechnung von deren Determinante det(JJ) ?
3) Bei der Auswertung des Integrals (*) ?

Frage beantwortet
MatheStudent12345

MatheStudent12345 aktiv_icon

14:28 Uhr, 10.12.2022

Antworten
Guten Mittag HAL9000,
Sie haben eigentlich schon alle meine Fragen beantwortet. Das Problem lag nur dabei diesen Satz richtig anzuwenden (ich war etwas verwirrt von der Formulierung und hatte keine Beispiele gefunden, welche mir dies veranschaulichen). Das weitere ausrechnen sollte ich alleine hinbekommen.
Danke vielmals für Ihre Hilfe.
MatheStudent12345

MatheStudent12345 aktiv_icon

19:59 Uhr, 10.12.2022

Antworten
Guten Abend nochmal HAL9000,
ich bin mir unsicher ob meine weitere Rechnung richtig ist und wollte fragen, ob Sie das einmal überprüfen könnten.
Wir haben die Jacobi-Matrix von einer Fkt. f an der stelle (x,y) als Df(x,y) bezeichnet. Diese Notation werde ich im folgenden auch verwenden, damit man nicht mit dem J durcheinander kommt.
det(DJ(u,v))=u(1-v)-(-uv)=u=u, da wir u[0,1] betrachten.
Somit können wir kürzen und das Integral ist [0,1]2dλ(u,v)ua-1
Nun fällt direkt auf, dass wir beim Integrieren für a=2 den log(u) und für a2,u2-a2-a erhalten.
Mein Ergebnis ist also:
Sei a:
[0,1]2dλ(u,v)ua-1=01(01u1-adv)du=01u1-av01du=01u1-adu
Sei a=2:
01u-1du=log(1)-limu0+(log(u))=
Sei a>2:
(1-a)]-,-1[,(2-a)]-,0[
01u1-adu=u2-a2-a01=1-(a-2)2-a-limu0+u-(a-2)2-a=12-a+1a-2*limu0+1ua-2=
Sei a<2:
(1-a)]-1,[,(2-a)]0,[
01u1-adu=u2-a2-a01=12-a)2-a-02-a)2-a=12-a
Antwort
HAL9000

HAL9000

21:11 Uhr, 10.12.2022

Antworten
Ja, stimmt.