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Integration mit Abrundungsfunktion

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Integration

Tags: Gaußklammer/Ganzteilfunktion

anonymous

20:13 Uhr, 13.12.2009

Hallo an alle, ich sitze schon die ganze Zeit an einer Aufgabe, bei der ich irgendwie nicht weiterkomme.
Die Aufgabe lautet:

lim_{x \to 0^{+}} \int_{x}^{1} ⌊ ln (x) ⌋ d x

Ich weiss. dass das Integral durch die Gaußklammer Intervallweise konstant sein muss und per Definition

⌊ x ⌋ : = max {k \in ℤ | k \leq x} .

Ausserdem müsste für

x

hier in diesem Fall auch noch gelten

⌊ ln (x) ⌋ \leq x < ⌊ ln (x + 1) ⌋

und

⌊ x ⌋ = x

wenn

x \in ℤ .

Irgendwie komme ich ab hier an nicht mehr richtig weiter.
Vielen Dank schon voraus.

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

20:20 Uhr, 13.12.2009

Untere Grenze und Integrationsvariable sind beide x . Kann das sein?

anonymous

20:30 Uhr, 13.12.2009

Ja, stimmt.

hagman aktiv_icon

22:25 Uhr, 13.12.2009

Es gilt

\int_{e^{- n}}^{e^{1 - n}} [ln (x)] d x

= \int_{e^{- n}}^{e^{1 - n}} (- n) d x

= n \cdot (e^{- n} - e^{1 - n})

Demnach ergibt sich wenn überhaupt

lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} n \cdot (e^{- n} - e^{1 - n})

anonymous

22:33 Uhr, 13.12.2009

Wie kommst du auf die 1. Zeile?

hagman aktiv_icon

22:40 Uhr, 13.12.2009

e^{- n} \leq x < e^{1 - n}

\Leftrightarrow

- n \leq ln (x) < 1 - n

\Leftrightarrow

[ln (x)] = - n

D . h

. ich suche genau das Intervall heraus, wo der Integrand den Wert

- n

annimmt.

anonymous

22:48 Uhr, 13.12.2009

Ok, verstehe stimmt.
Und wenn ich jetzt die letzte Zeile weiterrechne, dann komme ich auf:

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} k \cdot (\frac{1}{e^{k}} - \frac{e}{e^{k}}) = 0 .

Also beträgt das Integral 0 und die Reihe ist konvergent.

hagman aktiv_icon

10:29 Uhr, 14.12.2009

Das halte ich für ein Gerücht, da alle Summanden das gleiche Vorzeichen haben.

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