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Integration mit Polarkoordinaten

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Integration

Tags: Aufgabe

Selena aktiv_icon

18:52 Uhr, 25.09.2008

Hallo Leute,

kann mir bitte jmd helfen?

Doppelintegral

sin (Π (x^{2} + y^{2})) d x d y

M 1 = 1 < x^{2} + y^{2} <_{4}, y >_{0}

trotz Internetrecherchen weiss ich nicht wie man hier anfängt.

Man muss auf jedenfall

x

mit

r cos

fi ; und

y

mit

r sin

fi ersetzen, aber bitte könnt ihr mir Schriette langsam erklären?????

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Freibier aktiv_icon

01:41 Uhr, 26.09.2008

hi,

ich bin selbst am Auffrischen von Mehrfachintegralen. Ich habe versucht, die Aufgabe zu lösen, allerdings stecken irgendwo Fehler in meiner Rechnung, da das Ergebnis keinen Sinn ergibt.
Wenn ich die Aufgabe ohne Integralrechnung löse, komme ich auf einen Flächeninhalt von

\frac{3}{2} π

.

@Selena: Tschuldige, wenn ich dein Thema nutze, aber es kommt mir gerade sehr gelegen, um eigene Defizite auszugleichen. Vielleicht kannst du durch die Korrektur auch einen Extra-Nutzen daraus ziehen

x = r \cdot cos φ

y = r \cdot sin φ

Funktionaldeterminante:

d x d y = r \cdot

d φ

Die Grenzen des Integrals ergeben sich durch die Nebenbedingungen.

x^{2} + y^{2} = r^{2}

stellt eine Kreisgleichung dar.
Da

y > 0

sein muss, ist es ein Halbkreis oberhalb der x-Achse

\to

der Winkel

φ

geht von 0 bis

π

Der Radius des Kreises liegt zwischen 1 und 2

\int_{0}^{π} \int_{1}^{2} sin (π (r^{2} \cdot {cos}^{2} (φ) + r^{2} \cdot {sin}^{2} (φ))) r \cdot

d φ

Jetzt klammer ich im Integral noch

r^{2}

aus und mache mir zu nutze, dass

{cos}^{2} (φ) + {sin}^{2} (φ) = 1

ist.

\int_{0}^{π} \int_{1}^{2} sin (π \cdot r^{2} ({cos}^{2} (φ) + {sin}^{2} (φ))) r \cdot

d φ

\int_{0}^{π} \int_{1}^{2} sin (π \cdot r^{2}) r \cdot

d φ

Als nächstes muss das innere der beiden Integrale gelöst werden, also nach dr.

Um dieses Integral lösen zu können, substituiere ich

z = π \cdot r^{2}

aus der Substitution folgt: dr

= \frac{d z}{2 π r}

\int_{0}^{π} \int_{1}^{2} sin (z) \cdot r \cdot \frac{d z}{2 π r} d φ

\int_{0}^{π} \int_{1}^{2} \frac{sin (z)}{2 \cdot π} d z d φ

jetzt wird nach

z

integriert und rücksubstituiert

\int_{0}^{π} - \frac{cos (z)}{2 \cdot π} d φ

\int_{0}^{π} {[- \frac{cos (π \cdot r^{2})}{2 \cdot π}]}_{1}^{2} d φ

\int_{0}^{π} [- \frac{cos (4 π)}{2 \cdot π} - (- \frac{cos (π)}{2 \cdot π})] d φ

\int_{0}^{π} [- \frac{1}{2 \cdot π} + (- \frac{1}{2 \cdot π})] d φ

\int_{0}^{π} - \frac{1}{π} d φ

zuletzt wird noch na

φ

integriert

{[- \frac{1}{π} φ]}_{0}^{π}

= - 1

Selena aktiv_icon

09:48 Uhr, 26.09.2008

Hey, du hast es;-)))

Habe jetzt hierbei aber eine Frage:

Beim integrieren von dfi, muss man ja im Prinzip die Intevallgrenzen nur einfügen d. h. wie du es gemacht hast, wenn ich mich nicht täusche:

-1/Pi * Pi -0

=-1?

Da fängt immer mein grübeln an.

$\int x h o c h 2 d x d y M 2 : {(x, y) : x h o c h 2 + y h o c h 2 <_16$

Bei dieser Aufgabe komme ich gar nicht voran.

sorry bin noch neu, und kenn micht nicht so aus.

Freibier aktiv_icon

18:47 Uhr, 26.09.2008

hi,

versteh mich nicht falsch, aber schau dir meine Lösung lieber noch nicht ZU genau an. Mein Errechnetes Ergebnis ist unlogisch.
Der Flächeninhalt laut dem Doppelintegral wäre

- 1

.

Das Ergebnis hab ich wie folgt Kontrolliert.

A = π \cdot r^{2}

Da es in der Aufgabe um einen Halbkreisring geht, wäre der Flächeninhalt

A = \frac{1}{2} π \cdot r_{a}^{2} - \frac{1}{2} π \cdot r_{i}^{2}

A = 2 π - \frac{1}{2} π = \frac{3}{2} π

Damit gibt es zwei Ergebnisse, von denen nur eins richtig ist. Ich denke das zweite stimmt. Wo mein Fehler in der Integralrechnung liegt, sehe ich aber leider nicht.

Vielleicht findet sich doch nochmal jemand, der drüber schaut und den Fehler erkennt.

zu deiner Frage:

Du täuschst dich nicht.
Nach dem Integrieren setzt du zuerst die obere Grenze ein und ziehst danach die untere davon ab. In dem Fall ergibt die eingesetzte untere Grenze 0.

Wenn mir mein Fehler auffällt oder jemand ihn korrigiert hat, helfe ich natürlich gern weiter, aber im Moment hab ich eine Blockade im Kopf...

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