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Integration mit Polarkoordinaten

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Integration

Tags: Integration, mehrere Variable, Polarkoordinaten

Jenny-M aktiv_icon

19:48 Uhr, 12.08.2022

Hi Leute,

habe direkt noch eine Frage.
Und zwar habe ich folgende Aufgabe gerechnet, ich bekomme aber immer ein negatives Ergebnis, was ja an sich bei Integralen nicht gut ist (oder?).

Die Aufgabe:

\int_{D} x y^{2} d (x, y);

mit

D = {1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 9, x < 0}

In Polarkoordinaten:

D = {1 \leq r \leq 3, \frac{π}{2} < φ < 3 \frac{π}{2}}

\int_{\frac{π}{2}}^{3 \cdot \frac{π}{2}} cos (φ) \cdot {sin}^{2} (φ) \int_{1}^{3} r^{4} d r d φ

\frac{242}{5} \cdot \int_{\frac{π}{2}}^{3 \cdot \frac{π}{2}} cos (φ) \cdot {sin}^{2} (φ) d φ

\frac{242}{5} \cdot [\frac{{sin}^{3} (φ)}{3}]

- \frac{484}{15}

Hat sich irgendwo ein Fehler bei mir eingeschlichen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

21:00 Uhr, 12.08.2022

Hallo
xy^2 ist ja wegen

x < 0

auf dem ganzen Gebiet negativ, also muss das Integral negativ sein.
Gruß ledum

Jenny-M aktiv_icon

21:22 Uhr, 12.08.2022

Alles klar, da bin ich ja schonmal beruhigt.
Ist an meiner Rechnung auch nichts falsch?

Kartoffelchipsman aktiv_icon

21:42 Uhr, 12.08.2022

Ist ne gerichtete Fläche, kann also auch

und muss speziell hier sogar negativ sein.

Ich hab

\int_{1}^{3} (\int_{\frac{1}{2} \cdot π}^{\frac{3}{2} \cdot π} cos (φ) \cdot {sin (φ)}^{2} \cdot r^{4} \cdot d φ) \cdot d r

= \int_{1}^{3} r^{4} \cdot (\int_{\frac{1}{2} \cdot π}^{\frac{3}{2} \cdot π} cos (φ) \cdot (1 - {cos (φ)}^{2}) \cdot d φ) \cdot d r

= \int_{1}^{3} r^{4} \cdot (\int_{\frac{1}{2} \cdot π}^{\frac{3}{2} \cdot π} (cos (φ) - {cos (φ)}^{3}) \cdot d φ) \cdot d r

= \int_{1}^{3} r^{4} \cdot ((sin (φ) - sin (φ) + \frac{1}{3} \cdot {sin (φ)}^{3}) |_{\frac{1}{2} \cdot π}^{\frac{3}{2} \cdot π}) \cdot d r

= \frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{3} r^{4} \cdot ({sin (φ)}^{3} |_{\frac{1}{2} \cdot π}^{\frac{3}{2} \cdot π}) \cdot d r

= - \frac{2}{3} \cdot \int_{1}^{3} r^{4} \cdot d r = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} \cdot r^{5} |_{1}^{3} = - \frac{2}{15} \cdot (243 - 1) = - \frac{484}{15} = - 32,2 \bar{6}

.

Dazu noch ein paar informative Bildsges...

Jenny-M aktiv_icon

22:01 Uhr, 12.08.2022

Okay perfekt, meine Rechnung ähnelt deiner ja, abgesehen von der Herangehensweise.
Danke euch beiden und eine schöne Nacht noch.
Danke, dass ihr immer so fleißig Fragen beantwortet!

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