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Integration mit Substitution - geht nicht auf

Universität / Fachhochschule

Tags: Integration, Substitution

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18:08 Uhr, 28.09.2020

Folgende Aufgabe:

\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x

Muss per Substitution gelöst werden. Ich kenne die Basics, aber die Lösung passt nicht zur Musterlösung.

Meine Schritte:

Substitution

z = 1 + x^{3},

Ableitung von

z : 3 x^{2}

Die gewünschte Grundfunktion ist

\sqrt{x} \to \frac{2}{3} x \cdot \sqrt{x}

Also:

Kehrwert/Innere Ableitung:

\frac{1}{3 x^{2}}

\frac{1}{3 x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{\frac{2}{3} (1 + x^{3}) \cdot \sqrt{1 + x^{3}}}

Ich kürze die untere

3 x^{2}

mit der obigen

x^{2} :

\frac{1}{3 \cdot \frac{2}{3} (1 + x^{3}) \cdot \sqrt{1 + x^{3}}}

Hier geht es nicht mehr weiter. Ich komme nicht auf die Musterlösung. Die Musterlösung lautet:

\frac{2}{3} \cdot \sqrt{1 + x^{3}}

Hier fehlt das

C

natürlich, wegen der Übersichtlichkeit weg gelassen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

18:28 Uhr, 28.09.2020

Warum führst du die Substitution nicht komplett durch?

Du solltest auf

... = \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{\sqrt{z}} d z

kommen.

Du hast doch schon rudimentär ausgeführt, dass "Ableitung von

z :

3x^2" ist.
Genauer: Mit

z = 1 + x^{3}

gilt

\frac{d z}{d x} = 3 x^{2},

oder

d x = \frac{1}{3 x^{2}} d z

.

Das setze nun in das Ausgangsintegral ein und kürze dann die

x^{2}

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18:32 Uhr, 28.09.2020

Hallo,

du hast

z = 1 + x^{3}

. Jetzt schreibst du folgendes: "Ableitung von z:

3 x^{2}

"
Richtig. Als Gleichung ist das

\frac{d z}{d x} = 3 x^{2}

. Und somit

d x = \frac{1}{3} \cdot x^{- 2} d z

Jetzt einsetzen in

\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x

ergibt

\int \frac{x^{2}}{\sqrt{z}} \frac{1}{3} \cdot x^{- 2} d z = \int \frac{1}{\sqrt{z}} \frac{1}{3} d z

Gruß
pivot

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18:54 Uhr, 28.09.2020

Danke.

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19:04 Uhr, 28.09.2020

Dumme Frage, aber "dx = 1/Ableitung der Substitution" gilt immer?

Ich weiß, dumme Frage, aber sicher ist sicher.

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19:22 Uhr, 28.09.2020

Es ist ja eher

d x = \frac{d z}{z^{ʹ} (x)}

. Und das ergibt sich aus der Identität

\frac{d z}{d x} = z^{ʹ} (x)

.
Stichwort: Differentialquotient.

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19:37 Uhr, 28.09.2020

Ich habe nach dem Einsetzen nun:

\frac{1}{\frac{2}{3} \cdot (1 + x^{3}) \sqrt{1 + x^{3}}} \cdot \frac{1}{3}

Stimmt soweit?

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19:46 Uhr, 28.09.2020

Mmh... Was hast du denn als Ergebnis von

\int \frac{1}{\sqrt{z}} \cdot \frac{1}{3} d z

stehen?

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19:50 Uhr, 28.09.2020

Die Musterlösung lautet

\frac{2}{3} \cdot \sqrt{1 + x^{3}} + C

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19:54 Uhr, 28.09.2020

Das hast du schon gepostet. Hilfreicher ist es, wenn du meine Frage beantwortest.

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19:59 Uhr, 28.09.2020

Naja, das Ergebnis ist das, was ich gepostet habe.

Bei meinen Umwandlungskünsten kommt die Musterlösung nicht raus. Deswegen wollte ich erstmal fragen, ob die Einsetzung überhaupt so stimmt.

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20:10 Uhr, 28.09.2020

Meiner Vermutung nach hat eben diese Integration nicht funktioniert. Deswegen wollte ich den Rechenweg sehen. Es ist ja die Frage nach den möglichen Fehlerquellen. Den Rechenweg kannst du posten oder nicht.

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21:14 Uhr, 28.09.2020

Also, ich kenne die Lösung des Rechenwegs. Aber er erschließt sich mir nicht so recht:

Wir fangen nach der Integration an:

\frac{1}{3} \cdot \int \frac{d z}{\sqrt{z}} d x = \frac{1}{3} \cdot \int z^{- \frac{1}{2}} d z = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot z^{\frac{1}{2}}

Meine Hauptfrage hier: Woher kommt die zwei am Ende?

Roman-22

22:00 Uhr, 28.09.2020

>

Meine Hauptfrage hier: Woher kommt die zwei am Ende?
Integration von Potenzen!

\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} \cdot x^{n + 1} + C

für

n \neq - 1

und mit

C \in ℝ

In deinem Fall ist

n = - \frac{1}{2}

Was ist nun

n + 1

und was

\frac{1}{n + 1}

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00:19 Uhr, 29.09.2020

Ah, jetzt habe ich es kapiert. Danke.

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