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Integration mit Transformation

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Integration

Tags: Integration, krummlinige Koordinaten, transformation

etienne aktiv_icon

18:44 Uhr, 23.07.2017

Hallo,

ich möchte die Fläche des Vierecks zwischen folgenden Kurven berechnen:

y^2 = p*x
y^2 = q*x
x^2 = a*y
x^2 = b*y

Dafür ist folgende Transformationsvorschrift gegeben:

u = (x^2)/y
v = (y^2)/x

Nach der Anwendung der Transformationsvorschrift auf die Gleichungen ergibt sich

v=p
v=q
u=a
u=b

Und das Integral muss so aussehen:

\int_{u = a}^{b} \int_{v = p}^{q} 1 * d e t (ϕ) d v d u

... und ich weiß nicht, wie ich die Funktionaldeterminante berechnen muss, da u(x,y) und v(x,y) und ich auf jeweils zwei verschiedene Arten nach x und y auflösen kann.

Ich würde wirklich gern verstehen, was ich hier falsch mache und was ich nicht verstanden habe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

08:49 Uhr, 24.07.2017

Hallo,

"Ich würde wirklich gern verstehen, was ich hier falsch mach"

Dazu müsstest Du Deine Rechnung posten.

Im übrigen: Gitb es Bedingungen für

p, q, a, b

?

Grzß pwm

etienne aktiv_icon

12:07 Uhr, 24.07.2017

Die Bedingungen hab ich vergessen, ja:

0 < p < q

0 < a < b

Ich hab mir angesehen, wie die Funktionaldeterminante berechnet wird und ich hab versucht du/dx, dv/dy zu bilden. Die Transformationsvorschrift nach x und y aufgelöst hat mehrere Lösungen:

y = \frac{x^{2}}{u}

x = \frac{y^{2}}{v}

y = \pm \sqrt{v x}

x = \pm \sqrt{v y}

Welche von diesen Formeln muss ich verwenden, um die Funktionaldeterminante zu berechnen? Oder muss ich dv/dx, dv/dy, du/dx, du/dy berechnen und was mach ich dann damit? Wie kann das überhaupt sein, dass es zwei Rücktransformationsvorschriften für je x und y gibt und die beide auch noch jeweils von x und y abhängen?

pwmeyer aktiv_icon

12:13 Uhr, 24.07.2017

Hallo,

Du musst doch "komplett" auflösen, also

x = X (u, v)

und

y = Y (u, v)

Gruß pwm

etienne aktiv_icon

12:16 Uhr, 24.07.2017

Das versteh ich nicht, was meinst du mit komplett auflösen?

pwmeyer aktiv_icon

12:23 Uhr, 24.07.2017

Na, wenn Du die Gleichungen

u = x + y

und

v = x - y

nach

(x, y)

auflösen sollst, dann ist doch die Lösung auch nicht

x = y - u

und

y = x - v

sondern

x = \frac{1}{2} \cdot (u + v)

und

y = \frac{1}{2} \cdot (u - v)

Gruß pwm

etienne aktiv_icon

12:25 Uhr, 24.07.2017

Danke! Hab das einfach vorher nicht als Gleichungssystem verstanden.

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