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Integration über Betragsquadrat

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Nikno aktiv_icon

10:50 Uhr, 07.05.2016

Guten Tag, ich versuche gerade, eine Wellenfunktion zu normieren. Dabei ist mir aufgefallen, dass ich selbst nicht im Stande bin, das Integral mathematisch korrekt auszurechnen und auf WolframAlpha zurückgreifen musste.

Ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen, das auch selbst auszurechnen.

Es geht um das Integral

\int_{- \infty}^{\infty} {∣ N x \exp (- \frac{x^{2}}{σ^{2}}) ∣}^{2} d x

Ich weiß wie man

\int x e^{x^{2}} d x

und

\int x^{2} e^{x^{2}} d x

integriert, weiß aber nicht wie ich obiges Integral darauf zurückführen kann oder ob es dafür einen anderen Weg gibt. Bitte um Hinweise :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Nikno aktiv_icon

11:21 Uhr, 07.05.2016

Nach weiterem Rumprobieren scheint es doch mit partieller Integration möglich zu sein, da

{(e^{\frac{x^{2}}{2 σ^{2}}})}^{2} = e^{\frac{x^{2}}{σ^{2}}}

(ich dachte erst versehentlich, dass

(e^{x^{2}})^{2} = e^{x^{4}}

).

Ich hab es jetzt nicht weiter durchgerechnet, aber es scheint zu funktionieren.

CKims aktiv_icon

12:55 Uhr, 07.05.2016

mit der partiellen sollte es nicht gehen... das gehoert zu der sorte integral, bei der du schon ein kleiner gauss sein musst, um es zu lösen ;-) vergleiche:

de.wikipedia.org/wiki/Fehlerintegral#Normierung

lg

Nikno aktiv_icon

13:36 Uhr, 07.05.2016

Hey, vielen Dank für deine Antwort! Also ich hab mal eine Lösungsskizze erstellt, womöglich ist das mathematisch nicht korrekt gedacht, aber ich krieg was raus. Bitte korrigieren wenn was falsch ist :-)

Zuerst partielle Integration:

\int_{- \infty}^{\infty} {(N x \exp (- \frac{x^{2}}{2 σ^{2}}))}^{2} d x = - N^{2} σ^{2} x \exp (- \frac{x^{2}}{σ^{2}}) ∣_{- \infty}^{\infty} + \int_{- \infty}^{\infty} N σ^{2} \exp (- \frac{x^{2}}{2 σ^{2}}) N \exp (- \frac{x^{2}}{2 σ^{2}}) (1 - \frac{x^{2}}{σ^{2}}) d x

Hier wird der erste Summand 0. Betrachte also nur das Integral.

\int_{- \infty}^{\infty} N σ^{2} \exp (- \frac{x^{2}}{2 σ^{2}}) N \exp (- \frac{x^{2}}{2 σ^{2}}) (1 - \frac{x^{2}}{σ^{2}}) d x = σ^{2} N^{2} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{x^{2}}{σ^{2}}) d x - N^{2} \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} \exp (- \frac{x^{2}}{σ^{2}}) d x

Die Werte dieser 2 Integrale sind bekannt und sind lt. Literatur

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{x^{2}}{a^{2}}} d x = a \sqrt{π}

bzw.

\int_{- \infty}^{\infty} x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{a^{2}}} d x = \frac{1}{2} \sqrt{π} a^{3}

P.S.: Der LaTeX-Modus hier gibt leider nicht alles her, was ich brauche :(

Roman-22

15:20 Uhr, 07.05.2016

Deiner partiellen Integration kann und mag ich mangels Rechendokumentation nicht folgen, aber sie kommt mir falsch vor.

Außerdem schreibst du ursprünglich, dass du

\int_{- \infty}^{\infty} {| N \cdot x \cdot e^{- \frac{x^{2}}{σ^{2}}} |}^{2} d x =

? suchst, integrierst dann aber

\int_{- \infty}^{\infty} {(N \cdot x \cdot e^{- \frac{x^{2}}{2 \cdot σ^{2}}})}^{2} d x

.

Die Frage ist aber, wozu du sie überhaupt partielle Integration anwendest, wenn du am Ende ja doch

\int_{- \infty}^{\infty} x^{2} \cdot e^{- \frac{x^{2}}{a^{2}}} d x = {| a |}^{3} \cdot \sqrt{π}

einfach als bekannt voraussetzt. Denn das ist doch im Wesentlichen genau das Integral, das du berechnen wolltest! Eben mit

a = \frac{σ}{\sqrt{2}}

oder mit

a = σ,

je nachdem, welches Integral du jetzt wirklich berechnen möchtest.

Wenn wir uns, wie ich annehme, nur im Reellen bewegen wollen, können wir aufgrund des Quadrierens getrost den Betrag weglassen, also ist

\int_{- \infty}^{\infty} {| N \cdot x \cdot e^{- \frac{x^{2}}{σ^{2}}} |}^{2} d x = N^{2} \cdot \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} \cdot e^{- \frac{x^{2}}{{(\frac{σ}{\sqrt{2}})}^{2}}} d x = N^{2} \cdot {(\frac{| σ |}{\sqrt{2}})}^{3} \cdot \sqrt{π} = N^{2} \cdot \frac{\sqrt{2 π}}{8} \cdot {| σ |}^{3}

R

Nikno aktiv_icon

11:04 Uhr, 08.05.2016

Das hast du natürlich vollkommen recht! Ich habe das zu berechnende Integral in der Rechnung als gegeben angenommen, das habe ich gar nicht bemerkt, hatte da ein Denkfehler, den ich in meiner ersten Antwort beschrieben hatte.

Dann akzeptiere ich das Integral jetzt einfach mal so, das Ergebnis aus WolframAlpha stimmt jedenfalls physikalisch.

Vielen Dank!

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