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Integration über Kugeloberfläche fester Radius

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Flächenelement, Integration, Kugeloberfläche

PiPhi aktiv_icon

11:53 Uhr, 29.08.2014

Hallo Forum,

ich habe ein paar spezielle und allgemeine Fragen zur Integration von Funktionen über eine Kugeloberfläche.

- - - - - - - - - - -

Aufgabe: Integrieren Sie die Funktionen

a) f (x, y, z) =

|xyz|

b) g (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

c) h (x, y, z) = e^{z}

über die Oberfläche einer Kugel mit Radius

R

und Mittelpunkt

(0,0,0)

- - - - - - - - - - -

Meine Ideen:

Kugelkoordinaten benutzen. (Mit festem

R)

x = R \cdot sin (ϑ) \cdot cos (ρ)

y = R \cdot sin (ϑ) \cdot sin (ρ)

z = R \cdot cos (ϑ)

Nach einen Blick auf meine Formelsammlung fand ich das Flächenelement:

dS

= R^{2} \cdot sin (ϑ) d ϑ d ρ

1 Frage : Hätte ich diese Formel nicht gefunden hätte,hätte ich dann einfach die Jacobi-Matrix

(3 x 3)

von den gegebnen Kugelkoordinaten machen können und davon die Funktionaldeterminante ? (da

R

ja fest nur nach

ϑ

und

ρ

ableiten)
Bzw wie mache ich es wenn

R

nicht definiert ist?

Zu

a)

\int_{0}^{2 \cdot π} \int_{0}^{π}

|xyz|*

ϕ d ϑ d ρ

(Ist dieser Ansatz richtig? Die Betragsstriche verwirren mich etwas)

zu

b)

Hätte ich den selben Ansatz genommen nur

x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2} = R^{2}

\int_{0}^{2 \cdot π} \int_{0}^{π} R^{2} \cdot ϕ d ϑ d ρ

Lösung nicht rausbekommen.

zu

c)

Gelöst bekommen für

z = R \cdot cos (ϑ)

eingesetzt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

PiPhi aktiv_icon

12:27 Uhr, 29.08.2014

Update :

Ich denke ich habe

a)

und

b)

gelöst.

Für

a)

bin ich nun ausgegangen das wir uns im positiven Oktant befinden(dank den Betragsstriche?!)

Also befinden sich meine Grenzen bei 0 und

\frac{π}{2}

.

Da es 8 Oktanten gibt das ganze Integral

\cdot 8

.

Lösung für

a) = R^{5}

Lösung für

b) = - 4 \cdot Π \cdot R^{4} (

Hier noch die Frage ob es positiv sein muss ?!)

Trotzdem noch zu meiner 1 Frage: So wie es aussieht darf ich das Flächenelement immer benutzen. Wenn jedoch der Fall Eintritt das

R \Rightarrow 1 \leq r \leq 10

ist. Was muss ich dann machen?

pwmeyer aktiv_icon

17:52 Uhr, 29.08.2014

Hallo,

ich kann Dir nicht folgen: Bei den von Dir angegebenen Ansätzen, hast Du doch gar nicht das von Dir zitierte Flächenelement benutzt?

Gruß pwm

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