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Integration über einem Dreieck

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Gebietsintegration, Integration

sarose

12:00 Uhr, 04.06.2010

Ich möchte über einem Dreieck eine Funktion

z (x, y)

integrieren.

Wie muss ich bei einem Dreieck die Integrationsgrenzen wählen?

Ich habe so integriert:

\int_{Δ_{2}} = \int_{0}^{h} \int_{0}^{y} z (x, y) d x d y

Was mach ich falsch?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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12:04 Uhr, 04.06.2010

Hallo,
wie sind den die Koordinaten des Dreiecks?

sarose

12:26 Uhr, 04.06.2010

Hab jetzt das Bild eingefügt. Musste erstmal lange suchen, um das zu konvertieren, sorry

Edddi aktiv_icon

12:47 Uhr, 04.06.2010

V = \int_{0}^{h} \int_{- x}^{0} z (x, y) \cdot d y \cdot d x

V = \int_{0}^{h} A (x) \cdot d x

und

A (x) = \int_{- x}^{0} z (x, y) \cdot d y

ist.

;-)

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12:49 Uhr, 04.06.2010

Hallo,
man integriert erst über die Variable mit veränderlichen Grenzen, deshalb solltest du erst

y

integrieren, für die Grenzen gilt:

y_{0} (x) = 0

y_{u} (x) = - x

0 \leq x \leq h

\Rightarrow \int_{0}^{h} \int_{- x}^{0} f (x, y) d y d x

sarose

12:59 Uhr, 04.06.2010

Vielen Dank. Jetzt stimmt´s auch mit der Lösung überein.

sarose

14:51 Uhr, 04.06.2010

Ich bin mir noch unsicher, wie ich die Grenzen wähle. Könnt ihr mir das noch einmal erklären?

Muss ich bei dem Bild die selben Grenzen angeben wie oben?

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14:57 Uhr, 04.06.2010

Zeichne doch das Dreieck in ein Koordinatensystem und dann überlege, mit welchen Funktionen

y_{u} (x), y_{o} (x)

du dieses Dreieck beschreiben kannst, mit beschränktem

x

natürlich, es gilt dann:

y_{u} (x) = - h

y_{o} (x) = - x

0 \leq x \leq h

sarose

15:48 Uhr, 04.06.2010

mmh, ich versuchs mal an einem neuen Dreieck.

Sind die Bereiche:

0 \leq x \leq h

0 \leq y \leq - x

richtig?

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15:58 Uhr, 04.06.2010

Na, wie soll das funktionieren?

0 \leq y \leq - x

obwohl

x

immer positiv ist.

Die untere Funktion ist ja hier die

x

-Achse , also:

y_{u} (x) = 0

die obere Funktion ist eine Gerade deren Nullstelle bei

x = h

liegt und die den Wert

y (0) = h

im Ursprung besitzt, also ist die Funktionsgleichung:

y_{o} (x) = h - x

und für

x

gilt wieder:

0 \leq x \leq h

sarose

16:14 Uhr, 04.06.2010

Ich hatte bei der Rechnung schon gemerkt, dass da was verkehrt ist. Wollte es nur nicht wahrhaben.

So, jetzt noch ein Dreieck. Diesmal sollte es stimmen.

- h \leq x \leq 0

- x - h \leq y \leq 0

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16:20 Uhr, 04.06.2010

Ja, das ist richtig, aber beschreibe doch das Dreieck direkt mit Funktionen, denn das musst du ja sowieso machen wenn du integrieren willst.

sarose

16:42 Uhr, 04.06.2010

Ich bin mir nicht sicher, was du mit "beschreiben des Dreiecks mit Funktionen" meinst.
Kannst du mir das erklären?

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16:53 Uhr, 04.06.2010

Ja, einfach so wie ich das gemacht habe mit

y_{u} (x), y_{o} (x)

. Die Funktion

y_{u} (x)

beschreibt den unteren Teil des Dreiecks und

y_{o} (x)

den oberen, und durch die Beschränkung von

x

ergeben sich die linke und die rechte Grenze. Du hast ja das Dreieck nur mit Ungleichungen beschrieben, diese kannst du ja nicht als Grenzen für das Integral verwenden, dort setzt du ja die Funktionen ein, es gilt beim

6

Dreieck:

y_{u} (x) = - x - h

y_{o} (x) = 0

- h \leq x \leq 0

also

x_{u} = - h x_{o} = 0

allgemein lautet ja das Doppelintegral ( wenn

y

als erstes integriert wird ):

\int_{x_{u}}^{x_{o}} \int_{y_{u} (x)}^{y_{o} (x)} f (x, y) d y d x

also hier:

\int_{- h}^{0} \int_{- x - h}^{0} f (x, y) d y d x

sarose

17:00 Uhr, 04.06.2010

Mmh, hast recht. Allerdings hat meine Darstellung auch nen Hintergrund.

Wenn ich schreibe

- h \leq x \leq 0

will ich damit sagen, dass ich von

- h

bis

0

nach der Variablen

x

integrieren möchte.
Genaus so bei

- h - x \leq y \leq 0

. Mit dieser Darstellung sehe ich auf einem Blick was von wo nach wo integriert wird.

Ich möchte mich herzlich für deine Hilfe an diesem Nachmittag bedanken.

LG Sarose

Alx123 aktiv_icon

17:11 Uhr, 04.06.2010

Ja, dieser Hintergrund ist auch richtig, es gilt ja natürlich:

x_{u} \leq x \leq x_{o}

y_{u} (x) \leq y \leq y_{o} (x)

und bittesehr.

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