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Integration vom Skalarprodukt von Matrix, Vektor

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, mehrdimensionale Analysis, Mehrdimensionale Integration

MatheStudent12345 aktiv_icon

21:55 Uhr, 09.12.2022

Aufgabe:
Sei A eine symmetrische positiv definite reelle 2x2-Matrix und

B_{A} := {x \in ℝ^{2} ∣ 〈 A x, x 〉 < 1}

. Berechnen Sie das Integral

\int_{B_{A}} \frac{d λ (x)}{\sqrt{1 - 〈 A x, x 〉}}

.

Mein Ansatz:
Sei

A = (\binom{a b}{b c}), x = (\binom{x_{1}}{x_{2}})

:
So folgt aus der positiven Definitheit

x^{t} A x > 0 \overset{}{\Leftrightarrow} a x_{1}^{2} + 2 b x_{1} x_{2} + c x_{2}^{2} > 0

.
Außerdem gilt in

B_{A}, 〈 A x, x 〉 < 1 \overset{}{\Leftrightarrow} a x_{1}^{2} + 2 b x_{1} x_{2} + c x_{2}^{2} < 1

.
Somit wissen wir, dass

0 < \sqrt{1 - 〈 A x, x 〉} < 1

gilt. Ich weiß jedoch nicht, wie mir das bei der Berechnung des Integrals weiterhilft.

Danke an alle, die sich mit dieser Aufgabe beschäftigen. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

16:55 Uhr, 10.12.2022

Hallo
Ich habe nicht durchgerechnet, aber vielleicht helfen hier Polarkoordinaten?
lul

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