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Integration von Wurzel cos^2(u/2) von 0 bis pi

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Cosinus, Denkfehler, Einfaches Integral

anonymous

14:21 Uhr, 31.12.2018

Hallo,

laut WolframAlpha ist

4 \cdot \int_{0}^{π} \sqrt{c o s^{2} (u / 2)} = 8

, ich komme aber auf ein anderes Ergebnis und verstehe einfach nicht, wo ich einen Fehler gemacht haben soll.

Also hier meine Rechnung, wobei ich den Faktor

4

im Folgenden weglasse:

\int_{0}^{π} \sqrt{c o s^{2} (u / 2)} = \int_{0}^{π / 2} \sqrt{c o s^{2} (u / 2)} + \int_{π / 2}^{π} \sqrt{c o s^{2} (u / 2)}

Nun ist

\sqrt{x^{2}} = ∣ x ∣

. Da

\cos

von

[0, π / 2]

nicht-negativ ist und von

[π / 2, π]

nicht-positiv, erhalte ich:

\int_{0}^{π \ 2} \sqrt{c o s^{2} (u / 2)} = \int_{0}^{π / 2} c o s (u / 2)

bzw.

\int_{π / 2}^{π} \sqrt{c o s^{2} (u / 2)} = - \int_{π / 2}^{π} c o s (u / 2)

So, dies berechnet man schnell und da kommt (mit dem Faktor

4

multipliziert), keine

8

raus ...

Danke im Voraus.
Hazard

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)

pleindespoir aktiv_icon

14:53 Uhr, 31.12.2018

Zunächst würde ich mal den Vorfaktor nicht miteintippen, weil das trivial ist und danach das Quadrat mit der Wurzel neutralisieren.

Der allgemeine Fall sieht dann so aus:

\int f r o m 0 t o π (c o s (x / a)) d x

www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB+from+0+to+%CF%80++(++cos(+x%2Fa))++dx

e60lukas

15:04 Uhr, 31.12.2018

Hallo Hazard,

du hast recht, dass

cos (u)

von

\frac{π}{2}

bis

π

nicht positiv ist, du hast in der Aufgabe aber

cos (\frac{u}{2})

.

Vielleicht hilft dir das weiter.

Viele Grüße
EL

pleindespoir aktiv_icon

15:13 Uhr, 31.12.2018

Integral des cosinus ist halt auch nicht cosinus ...

anonymous

14:59 Uhr, 05.01.2019

Hallo pleindespoir und e60lukas,

ich habe es jetzt ... Danke für die Hinweise!

\int_{0}^{π} \sqrt{\cos^{2} (x / 2)} d x = \int_{0}^{π} \cos (x / 2) d x = 2 \cdot \sin (\frac{π}{2}) ∣_{x = 0}^{x = π} = 2

\cos (x / 2)

ist von

[0, π]

nicht-negativ, daran liegt es!
Mit dem Faktor

4

multipliziert, komme ich auf

8

.

Gruß
Hazard

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