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Integration zur Berechng. Linienschwerpunkt

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Berechnung Linienschwerpunkt, Integration

madea aktiv_icon

20:10 Uhr, 23.03.2010

Problembeschreibung: Berechnung der Koordinaten des Linienschwerpunktes (xLS, yLS) --> Integrationsproblem: Warum sieht's bei der x-Koordinate "anders" aus als bei der y-Koordinate?

im Anhang: Aufgabe und vom Buch gegebene Lösung

Hoffe auf eure Unterstützung. Danke vorab für die Mühen. Freue mich auf plausible Erklärungen. Allein komm' ich einfach nicht drauf.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Alx123 aktiv_icon

23:15 Uhr, 24.03.2010

Hallo,
wo genau liegt dein Problem?

Wie in der Lösung schon steht wird das Integral getrennt einmal für die x-Komponente und einmal für die y-Komponente berechnet. Es gilt ja:

r = (x_{i}, y_{i}) = (x, \frac{x^{2}}{2})

also

x_{i} = x, y_{i} = \frac{x^{2}}{2}

und für

d L

gilt ja:

d L = d x \sqrt{1 + x^{2}}

das eingesetzt in die zwei Integrale:

x_{L S} = \frac{1}{L} \int_{A}^{B} x_{i} \cdot d L = \frac{1}{L} \int_{- 2}^{4} x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x

y_{L S} = \frac{1}{L} \int_{A}^{B} y_{i} \cdot d L = \frac{1}{L} \int_{- 2}^{4} \frac{x^{2}}{2} \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x

madea aktiv_icon

22:05 Uhr, 25.03.2010

hey, danke erstmal für's antworten. bis hierhin hab' ich's auch verstanden... mein problem ist das integrieren selbst... xLS und yLS "unintegriert" versteh' ich noch, aber dann hört's auf.

Alx123 aktiv_icon

00:49 Uhr, 26.03.2010

Für

L

gilt ja:

L = 12, 2515

also kann man schreiben:

x_{L S} = \frac{1}{12, 2515} \int_{- 2}^{4} x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x

NR:

\int x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x

Sub:

u = 1 + x^{2} \Rightarrow \frac{d u}{d x} = 2 x \overset{}{\Leftrightarrow} \frac{1}{2 x} d u = d x

\Rightarrow \int x \cdot \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2 x} d u = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + c

Resub:

\Rightarrow \int x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{3} \sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}} + c

\Rightarrow \frac{1}{12, 2515} \cdot \int_{- 2}^{4} x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{12, 2515} \cdot {[\frac{1}{3} \sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}}]}_{- 2}^{4}

= \frac{1}{3 \cdot 12, 2515} \cdot (\sqrt{(1 + 16)^{3}} - \sqrt{(1 + 4)^{3}})

= \frac{1}{3 \cdot 12, 2515} \cdot (\sqrt{1 7^{3}} - \sqrt{5^{3}})

= \frac{1}{3 \cdot 12, 2515} \cdot (\sqrt{4913} - \sqrt{125}) \approx 1, 603

Für das zweite Integral gilt ja:

y_{L S} = \frac{1}{2 \cdot 12, 2515} \int_{- 2}^{4} x^{2} \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x

NR:

\frac{1}{2} \int x^{2} \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int x \cdot x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{2} (x \cdot \frac{1}{3} \sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}} - \int \frac{1}{3} \sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}} d x)

= x \cdot \frac{1}{6} \sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}} - \frac{1}{6} \int \sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}} d x

Betrachte:

- \frac{1}{6} \int \sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}} d x = - \frac{1}{6} \int \sqrt{1 + x^{2}} \cdot (1 + x^{2}) d x = - \frac{1}{6} \int \sqrt{1 + x^{2}} + x^{2} \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x

also kann man schreiben:

\frac{1}{2} \int x^{2} \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x = x \cdot \frac{1}{6} \sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}} - \frac{1}{6} \int \sqrt{1 + x^{2}} d x - \frac{1}{6} \int x^{2} \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x

\overset{}{\Leftrightarrow} (\frac{1}{2} + \frac{1}{6}) \int x^{2} \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x = x \cdot \frac{1}{6} \sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}} - \frac{1}{6} \int \sqrt{1 + x^{2}} d x

\overset{}{\Leftrightarrow} \frac{2}{3} \int x^{2} \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{6} (x \cdot \sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}} - \int \sqrt{1 + x^{2}} d x)

\overset{}{\Leftrightarrow} \int x^{2} \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{4} (x \cdot \sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}} - \int \sqrt{1 + x^{2}} d x)

NR:

\int \sqrt{1 + x^{2}} d x

das kannst du mit folgender Substitution lösen:

x = \sinh (t) \Rightarrow d x = \cosh (t) d t

\Rightarrow \int \sqrt{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{2} (x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} + \sinh^{- 1} (x)) + c

\sinh^{- 1} (x)

ist die Umkehrfunktion von

\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

wenn man das nach

x

umstellt, kriegt man den Logarithmus-Term, also das ist das gleiche:

\Rightarrow \int \sqrt{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{2} (x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} + \sinh^{- 1} (x)) + c = \frac{1}{2} (x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} + \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})) + c

also gilt jetzt:

\int x^{2} \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{4} (x \cdot \sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}} - \int \sqrt{1 + x^{2}} d x)

\overset{}{\Leftrightarrow} \int x^{2} \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{4} (x \cdot \sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}} - \frac{1}{2} (x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} + \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}))) + c

\overset{}{\Leftrightarrow} \int x^{2} \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{4} x \cdot \sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}} - \frac{1}{8} (x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} + \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})) + c

Jetzt musst du noch die Grenzen einsetzen und das

L

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