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Integrationsgrenzen

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Integration

Tags: Integration, Integrationsgrenzen, Kugelkoordinaten, Polarkoordinaten

edge165 aktiv_icon

19:24 Uhr, 17.09.2014

Hallo.
Ich habe folgendes Problem. Wenn man bei Doppel oder Dreifachintegralen in Kugel oder Zylinderkoordinaten wechseln will, wie passe ich dann die Integralgrenzen richtig an. Z.B bei

\int_{- 1}^{1} \int_{- \sqrt{1 - y^{2}}}^{\sqrt{1 - y^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} x d x d y d z

Wie muss man da die Grenzen anpassen. Eigentlich wäre es normal für Kugelkoordinaten ja:

r > 0; φ \in (0, 2 π); θ \in (- π / 2, π / 2)

Aber wie muss ich das hier machen. Ich hab keine Idee

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

09:46 Uhr, 19.09.2014

Es hilft immer, eine Zeichung zu machen, was in diesem Fall zugegebenermaßen nicht einfach ist. Es kommt so was wie Kegel mit der Spitze nach unten raus, denke ich.

Aber sonst muss man einfach die Kugelkoordinaten nehmen und schauen.
Z.B. haben wir hier für

z

die Grenzen

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

und

1

. In Kugelkoordinaten ist

z = r \cos (θ)

und

x^{2} + y^{2} = r^{2} \sin^{2} (θ)

, also aus

\sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq z \leq 1

wird

r \sin (θ) \leq r \cos (θ) \leq 1

, insbesondere

\sin (θ) \leq \cos (θ)

oder anders ausgdrückt,

0 \leq θ \leq π / 4

(ich berücksichtigte, dass immer

\sin (θ) \geq 0

bei Kugelkoordinaten, sonst müsste man Betrag nehmen).
Bei

φ

bleiben die Grenzen

- π, π

, allein aus Symmetriegründen.
Bleibt dann nur

r

. Da kann man die Bedingung

- \sqrt{1 - y^{2}} \leq x \leq \sqrt{1 - y^{2}}

nutzen oder äquivalent dazu

x^{2} + y^{2} \leq 1

, was in den Kugelkoordinaten zu

r^{2} \sin^{2} (θ) \leq 1

wird.

Beachte nur, dass ich die üblichen Kugelkoordinaten von hier genommen habe: de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten, und da geht

θ

von

0

bis

π

. Also wenn Du

θ

von

- π / 2

bis

π / 2

hast, sind Deine Koordinaten ein Bisschen anders.

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