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Integrationskonstante

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

MarenKnappig aktiv_icon

20:40 Uhr, 01.05.2019

Ich muss mich aktuell in das Thema PDGLs einarbeiten und muss dazu das Thema DGLs erst einmal halbwegs verstehen.

Dazu habe ich mir das Übungsbuch von Papula besorgt. Bei einer Aufgabe steht durch trennungs der variablen lässt sich die DGL wie folgt lösen:

\frac{d y}{y + 1} = - (cot (x) d x)

Dies integriert ergibt:

ln (x + 1) = - sin (x) + ln (C)

Woher kommt das

ln x

und wieso entsteht es bei

cot (x)

und nicht bspw. bei

\frac{1}{y + 1}

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

20:55 Uhr, 01.05.2019

Hallo,

i-wie habe ich bei der Integration von cot(x) etwas anderes heraus.

\cot (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}

Jetzt gilt, dass

\int \frac{u ʹ (x)}{u (x)} d x = \ln (u (x))

Somit ist

\int \cot (x) d x = \ln (\sin (x)) + C

Gruß

pivot

MarenKnappig aktiv_icon

09:46 Uhr, 03.05.2019

Laut Formelsammlung sollte dies aber passen. Habe noch ein weiteres Beispiel, bei dem ebenfalls ein

ln (C)

entsteht. Ich weiß nicht, ob ich es direkt aus dem Papula kopieren darf, deshalb habe ich es kurz in Word nachgestellt und in den Anhang gelegt

Im Papula steht folgende Anmerkung zu Beginn:

"Häufig erhält man bei der Integration einer Dgl „logarithmische“ Terme wie beispielsweise

ln (x^{2} + x + 1)

. Es ist dann zweckmaäßiger, die Integrationskonstanten nicht in der üblichen Form, sondern in der „logarithmischen“ Form

ln C

anzusetzen. "
Nichtdestotrotz stellt sich mir die Frage, wieso das

C

nur bei der sin funktion, nicht aber bei

\frac{1}{y} + 1

entsteht.

funke_61 aktiv_icon

10:40 Uhr, 03.05.2019

Hallo,
warscheinlich handelt es sich um einen Druckfehler in der Angabe, denn wenn Du die angegebene Lösung der rechten Seite

= - sin (x) + ln C

zur Probe ableitest, ergibt sich

- cos (x)

und eben nicht

- cot (x)

.

(Auch die Integration der linken Seite enthält einen Fehler, denn hier scheint Dir ja inzwischen klar zu sein, die Integration

ln (y + 1)

und nicht

ln (x + 1)

ergibt.)

die Integrationskonstante kannst Du gerne zunächst auf beiden Seiten anschreiben.
Nach dem Vereinfachen bleibt nur eine "gemeinsame Integrationskonstante" auf einer Seite übrig.
Meist schreibt man diese zunächst auf die rechte Seite . . .
;-)

anonymous

10:47 Uhr, 03.05.2019

Hallo
also lasst uns doch erst mal aus der Menge der Schreibfehler und Missverständnissse ein wenig Ordnung schaffen.

Die Differenzialgleichung dürfte lauten:
Gleichung

(a) :

\frac{d y}{y + 1} = - cot (x) \cdot d x

Dann lautet ein sinnvoller Zwischenschritt:
Gleichung

(b) :

\int \frac{d y}{y + 1} = \int - cot (x) \cdot d x

Die (eine) Lösung dessen:
Gleichung

(c) :

ln (y + 1) = - ln (sin (x)) + ln (C)

Jetzt schreibst du - Maren Knappig - ein
"Woher kommt das

ln x

..."

Na ja, wie man sieht, gibts bei richtiger Schreibweise kein "ln(x)".

Meinst du das

ln (y + 1)

?
Ich hoffe das hat sich geklärt...

Meinst du das

ln (C)

?
Hierzu hattest du aus dem 'Papula' einen sinnvollen Hinweis selbst angeboten...

MarenKnappig aktiv_icon

15:40 Uhr, 05.05.2019

Ich würde gerne einen Screenshot aus dem Papula hochladen, doch das ist denke ich ein wenig heikel. Deshalb würde ich mich gerne auf meinen Anhang konzentrieren, da hier die Sache doch eindeutig ist. Vielleicht war es im Buch tatsächlich ein Druckfehler.

Das

\frac{1}{y + 1}

zu integrieren habe ich verstanden. Das gleiche gilt für das

sin (x)

allerdings ist mir immer noch nicht klar, wieso nur eine einzige Integrationskonstante entsteht und diese logarithmiert werden muss. Sowohl links als auch recht entsteht eine Konstante. Wird diese einfach zusammengefasst und auf die rechte Seite "geholt" sprich es entsteht

C 1

und

C 2

und man fasst es mit

C = C 1 + C 1

zusammen und logarithmiert es?

pivot aktiv_icon

16:09 Uhr, 05.05.2019

>>Wird diese einfach zusammengefasst und auf die rechte Seite "geholt" sprich es entsteht C1 und C2 und man fasst es mit C=C1+C1 zusammen und logarithmiert es<<

Im Prinzip ja.

\int \frac{1}{y - 1} d y = \int \sin (x) d x

\ln (y - 1) + c_{1} = - \cos (x) + c_{2}

\ln (y - 1) = - \cos (x) + c_{2} - c_{1}

In der Regel wird aber die Integrationskonstante auf der linken Seite weggelassen.

Jetzt setzt man gleich

c_{2} - c_{1} = \ln (C)

Den Schritt würde ich so auch nicht machen.

\ln (y - 1) = - \cos (x) + \ln (C)

Dann beide Seiten als Exponenten von e schreiben.

___________________________________________________________________

Ich würde es so rechnen:

\int \frac{1}{y - 1} d y = \int \sin (x) d x

\ln (y - 1) = - \cos (x) + c

e^{\ln (y - 1)} = e^{- \cos (x) + c}

y - 1 = e^{- \cos (x)} \cdot e^{c}

Mit

e^{c} = C

erhält man

y - 1 = C \cdot e^{- \cos (x)}

anonymous

18:43 Uhr, 05.05.2019

Vor lauter Verwirrung weiß jetzt leider nicht, welche Aufgabe Pivot da exerziert.

Um den vielen (Miss-) Verständnissen noch ein Verständnis hinzuzufügen, und der Verwirrung eines armen Schülers/Studenten vorzubeugen, biete ich mal noch die Abhandlung der ursprünglichen Aufgabe.

Ich ahne/hoffe, wir waren uns einig mit
Gleichung

(b) :

\int \frac{d y}{y + 1} = \int - cot (x) \cdot d x

Jetzt hattest du erwogen, sowohl links wie rechts eine Integrationskonstante zu berücksichtigen:

ln (y + 1) + C_{1} = - ln (sin (x)) + C_{2}

ln (y + 1) = - ln (sin (x)) + C_{2} - C 1

ganze Gleichung exponieren:

y + 1 = e^{- ln (sin (x)) + C_{2} - C 1}

y + 1 = e^{- ln (sin (x))} \cdot e^{C_{2} - C 1}

y + 1 = e^{C_{2} - C 1} \cdot {(e^{ln (sin (x))})}^{- 1}

y + 1 = e^{C_{2} - C 1} \cdot {(sin (x))}^{- 1}

y + 1 = \frac{e^{C_{2} - C 1}}{sin (x)}

Wenn man sich jetzt klar macht, dass
e^(Konstante - Konstante)
ja auch nur eine Konstante ist, dann kann man das vereinfachen zu:

y + 1 = \frac{C}{sin (x)}

Umständlich, aber formal richtig.
So umständlich machen das eigentlich nur -pardon- Anfänger.
Weil es eben so ist, dass man bei beidseitigem Integral die Konstanten auf beiden Seiten zu einer Konstante zusammenfassen kann, macht man das mit ein klein wenig Übung und Übersicht nie mehr wieder,
sondern nutzt - wie du schon selbst erahnt hast - nur eine einzige Konstante.

(B) :

\int \frac{d y}{y + 1} = \int - cot (x) \cdot d x

ln (y + 1) = - ln (sin (x)) + ln (C)

ln (y + 1) = ln (\frac{C}{sin (x)})

y + 1 = \frac{C}{sin (x)}

Wie du siehst, mit ein wenig Übersicht und nur einer Konstanten kommt man zum selben Ziel. Der Weg ist nur viel, viel kürzer und einfacher.

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