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Integrer Ring und Primfaktorzerlegung

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Algebra, Integrer Ring, Primfaktorzerlegung, Ring, Unterring

 
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mega3636

mega3636 aktiv_icon

14:32 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Hallo,
ich beschäftige mich aktuell mit Thema Ringe und da sind so viele Begriffe die ich nicht ganz zuordnen kann, wie Polynomring,Unterring, integrer Ring usw...

Also meine Gedanken:
Polynomring ist die Menge aller Polynome ungleich 0.
Unterring erbt die Eigenschaften der Untergruppe oder?

Sagen wir mal wir haben

K[T] ein Polynomring wobei K ein Körper.
K[T2,T3] ein Unterring, der aus allen Polynomen f=aiTi mit a1=0 besteht.

wenn ich jetzt zeigen soll dass:

K[T2,T3] ist integer , aber das Element f=T2 hat keine Primfaktorzerlegung.

Was genau hat ein Ring mit einer Primfakgtorzerlegung zu tun???
und was ist hier mit integer gemeint?
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:41 Uhr, 22.05.2020

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Was ein integrer Ring ist, wurde wohl in der Vorlesung gesagt.
Ich vermute, dass damit das gemeint ist: mathepedia.de/Integritaetsbereich.html

K[T2,T3] besteht aus allen Polynomen, die durch T2 und T3 erzeugt werden. Also T2, T2+T3, T5, T2-3T5 usw. Aber auch Konstanten gehören dazu.

Primfaktoren können in allgemeinen Ringen definiert werden: de.wikipedia.org/wiki/Primelement
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:44 Uhr, 22.05.2020

Antworten
UPDATE.
Ne, das war immer noch falsch.
Eigentlich glaube ich, dass T2 sehr wohl ein Primelement in K[T2,T3] ist.

mega3636

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14:51 Uhr, 22.05.2020

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was geneu meinst du mit erzeugt werden??
meinst du zb T2T3 und T2+T3 usw...
ALso ist hier die addition und multiplikation gemeint?
Antwort
ermanus

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14:58 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Ich finde doch, dass T2 nicht prim ist; denn T2 teilt T3T3,
aber keinen der beiden Faktoren T3.

Das ist aber auch echt verwirrend ;-)
LG ermanus
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DrBoogie

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15:04 Uhr, 22.05.2020

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Ah, mein Fehler. Ja, T2 ist prim, weil T2 doch kein Teiler von T3 ist - im Ring K[T2,T3]! Das hab ich übersehen. T2 teilt T3 nur in K[T].
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DrBoogie

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15:05 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Ja, Addition und Multiplikation, denn wir sind in einem Ring.
Wenn a,b im Ring sind, dann sind alle Potenzen von beiden, Produkte, Summen usw.
mega3636

mega3636 aktiv_icon

15:18 Uhr, 22.05.2020

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Also kann man sich das so vorstellen wie bei dem Primzahlen und dann alle möglichkeiten durchgehen die im Unterring vorkommen?
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

21:50 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Alle Möglichkeiten durchzugehen ist wohl nicht möglich, es gibt doch unendlich viele.
mega3636

mega3636 aktiv_icon

16:50 Uhr, 23.05.2020

Antworten
Ok also nochmal alles gesammelt.

ich hab in der Vorlesung gefunden:

Ein Ring R heisst integer, falls R ungleich 0 ist + jedes f ungleich 0 regulär ist.
f heisst regulär wenn für alle g gilt fg=0 daraus folgt g=0.

Ich soll aber zeigen dass ein Unterring integer ist.

Also das K[T2,T3] ungleich null ist, ist klar.
aber der zweite Teil???

Entschuldigung für die ganzen Fragen das online Semester ist sehr anstrengend :S

Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

16:57 Uhr, 23.05.2020

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Wenn ein Polynom nicht 0 ist und mit einem anderen Polynom multipliziert wird, kann 0 als Ergebnis nicht rauskommen. Dazu reicht einfach die höchsten Potenzen von beiden Polynomen anzuschauen.
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