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Integrer Ring und Primfaktorzerlegung

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Algebra, Integrer Ring, Primfaktorzerlegung, Ring, Unterring

mega3636 aktiv_icon

14:32 Uhr, 22.05.2020

Hallo,
ich beschäftige mich aktuell mit Thema Ringe und da sind so viele Begriffe die ich nicht ganz zuordnen kann, wie Polynomring,Unterring, integrer Ring usw...

Also meine Gedanken:
Polynomring ist die Menge aller Polynome ungleich 0.
Unterring erbt die Eigenschaften der Untergruppe oder?

Sagen wir mal wir haben

K [T]

ein Polynomring wobei

K

ein Körper.

K [T^{2}, T^{3}]

ein Unterring, der aus allen Polynomen

f = a_{i} \cdot T^{i}

mit

a_{1} = 0

besteht.

wenn ich jetzt zeigen soll dass:

K [T^{2}, T^{3}]

ist integer , aber das Element

f = T^{2}

hat keine Primfaktorzerlegung.

Was genau hat ein Ring mit einer Primfakgtorzerlegung zu tun???
und was ist hier mit integer gemeint?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

DrBoogie aktiv_icon

14:41 Uhr, 22.05.2020

Was ein integrer Ring ist, wurde wohl in der Vorlesung gesagt.
Ich vermute, dass damit das gemeint ist: mathepedia.de/Integritaetsbereich.html

K [T^{2}, T^{3}]

besteht aus allen Polynomen, die durch

T^{2}

und

T^{3}

erzeugt werden. Also

T^{2}

T^{2} + T^{3}

T^{5}

T^{2} - 3 T^{5}

usw. Aber auch Konstanten gehören dazu.

Primfaktoren können in allgemeinen Ringen definiert werden: de.wikipedia.org/wiki/Primelement

DrBoogie aktiv_icon

14:44 Uhr, 22.05.2020

UPDATE.
Ne, das war immer noch falsch.
Eigentlich glaube ich, dass

T^{2}

sehr wohl ein Primelement in

K [T^{2}, T^{3}]

ist.

mega3636 aktiv_icon

14:51 Uhr, 22.05.2020

was geneu meinst du mit erzeugt werden??
meinst du zb

T^{2} \cdot T^{3}

und

T^{2} + T^{3}

usw...
ALso ist hier die addition und multiplikation gemeint?

ermanus aktiv_icon

14:58 Uhr, 22.05.2020

Ich finde doch, dass

T^{2}

nicht prim ist; denn

T^{2}

teilt

T^{3} \cdot T^{3}

,
aber keinen der beiden Faktoren

T^{3}

.

Das ist aber auch echt verwirrend ;-)
LG ermanus

DrBoogie aktiv_icon

15:04 Uhr, 22.05.2020

Ah, mein Fehler. Ja,

T^{2}

ist prim, weil

T^{2}

doch kein Teiler von

T^{3}

ist - im Ring

K [T^{2}, T^{3}]

! Das hab ich übersehen.

T^{2}

teilt

T^{3}

nur in

K [T]

DrBoogie aktiv_icon

15:05 Uhr, 22.05.2020

Ja, Addition und Multiplikation, denn wir sind in einem Ring.
Wenn

a, b

im Ring sind, dann sind alle Potenzen von beiden, Produkte, Summen usw.

mega3636 aktiv_icon

15:18 Uhr, 22.05.2020

Also kann man sich das so vorstellen wie bei dem Primzahlen und dann alle möglichkeiten durchgehen die im Unterring vorkommen?

DrBoogie aktiv_icon

21:50 Uhr, 22.05.2020

Alle Möglichkeiten durchzugehen ist wohl nicht möglich, es gibt doch unendlich viele.

mega3636 aktiv_icon

16:50 Uhr, 23.05.2020

Ok also nochmal alles gesammelt.

ich hab in der Vorlesung gefunden:

Ein Ring

R

heisst integer, falls

R

ungleich 0 ist

+

jedes

f

ungleich 0 regulär ist.

f

heisst regulär wenn für alle

g

gilt

f \cdot g = 0

daraus folgt

g = 0

.

Ich soll aber zeigen dass ein Unterring integer ist.

Also das

K [T^{2}, T^{3}]

ungleich null ist, ist klar.
aber der zweite Teil???

Entschuldigung für die ganzen Fragen das online Semester ist sehr anstrengend

: S

DrBoogie aktiv_icon

16:57 Uhr, 23.05.2020

Wenn ein Polynom nicht 0 ist und mit einem anderen Polynom multipliziert wird, kann 0 als Ergebnis nicht rauskommen. Dazu reicht einfach die höchsten Potenzen von beiden Polynomen anzuschauen.

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