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Integrierbarkeit von 1/x

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Integration

Tags: Integration

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sabsi

15:44 Uhr, 23.05.2022

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Hi,

Ich soll folgendes zeigen:

Sei

α \in (0, 1)

. Ist die Funktion

f_{α} : [α, 1] \to R, f_{α} (x) = [1 / x]

integrierbar an

[α, 1]

.....

Meine Idee wäre. Ja ist integrierbar, weil sobald ich das

α \in (0, 1)

wähle integriere ich später nicht mehr bis zur 0. Aber wie führe ich hier einen schlüssigen Beweis?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

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ledum

ledum aktiv_icon

19:23 Uhr, 23.05.2022

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Hallo
kommt drauf an, was ihr bewiesen habt, jede beschränkte stetige funktion ist integrierbar? dann gib die obere und untere Schranke durch

α

und 1 an.
oder musst du eine Riemannsumme herstellen und zeigen, dass sie konvergiert?
ledum

sabsi

20:10 Uhr, 23.05.2022

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Glaub ich muss Riemann-Summen herstellen und zeigen dass die konvergieren.

Könnt ich das wie folgt:

f (x) = 1 / x

ist auf

[α, 1]

stetig und monoton fallend. Daher gilt für die Riemann-Summen folgende abschätzung:

U_{R} (f) - L_{R} (f) = Δ x * (f (α) - f (1))

da

(f (α) - f (1))

endlich konvergiert dieser Fehler mit

Δ x \to \infty

gegen 0.

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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

11:37 Uhr, 24.05.2022

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Hallo,

Deine Abschätzung für

U - L

halte ich für falsch - oder kannst Du sie irgendwie begründen?

Gruß pwm

sabsi

12:49 Uhr, 24.05.2022

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betrachte die Zerlegung:

x_{i} = α + i * \frac{1 - α}{n}

U - L = \frac{1 - α}{n} * \sum_{k = 0}^{n} f (x_{i}) - f (x_{i + 1})

Durch die Teleskopsumme vereinfacht sich das dann zu

U - L = \frac{1 - α}{n} * (f (α) - f (1)) \to_{n \to \infty} 0

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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

19:53 Uhr, 24.05.2022

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Hallo,

ja, danke. Das hatte ich so nicht auf dem Schirm.

Damit ist doch die Aufgabe dann auch erledigt.

Gruß pwm

Frage beantwortet

sabsi

20:06 Uhr, 24.05.2022

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danke

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