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Integrierbarkeit zeigen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

 
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JJJMath

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21:40 Uhr, 10.07.2019

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Hallo, ich hänge bei einer Aufgabe ein wenig. Vielleicht kann mir ja jemand bisschen weiter helfen

f:[-1,1]R

f(x)=0 für x<0

f(x)=1 für x0

Ich möchte zeigen, dass f integrierbar ist und das integral ausrechnen.
Außerdem möchte ich noch zeigen, dass f auf dem Intervall keine Stammfunktion besitzt.

Ich weiß, dass es sich hierbei um eine Treppenfunktion handelt und deshalb auch integrierbar ist. Jedoch darf ich das nicht verwenden, sondern soll es mit der Ober und Untersumme zeigen.
Da weiß ich aber nicht so richtig, wie ich dafür vorgehen soll.

Danke schon mal :-)
Antwort
pwmeyer

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09:31 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Hallo,

nimm Dir einfach eine Zerlegung - vielleicht zunächst eine gleichmäßige - von [-1,1]. Für die Berechnung der Ober- / Untersumme, mache eine Fallunterscheindung, welche Teilintervalle ganz in [-1,0) bzw. in (0,1] liegen ....

Gruß pwm
JJJMath

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13:31 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Das mit den Ober und Untersummen ist mir leider nicht so ganz klar, wie ich da vorgehen muss.
Antwort
pwmeyer

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17:36 Uhr, 11.07.2019

Antworten
Hallo,

dann schreib doch mal die Formel für eine Obersumme, die Ihr in Eurer Vorlesung verwendet habt, hierhin.

Gruß pwm
JJJMath

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10:40 Uhr, 12.07.2019

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Sei f:[a,b]R beschränkt.

Dann ist die Obersumme = Summe supremum f(x)(xn-xn-1)

und die Untersumme = Summe infimum f(x)(xn-xn-1)
Antwort
pwmeyer

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11:51 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Hallo,

Also für die Obersumme:

n=1NSn(xn-xn-1)

wobei Sn:= supremum{ |f(x)|:x[xn-1,xn]}

Jetzt überleg mal, was das Supremum jeweils ist. Mache dabei eine Fallunterscheidung, ob xn<0 oder xn-10 ist. Welcher Fall bleibt eventuell?

Wie sieht das dann mit der Untersumme aus?

Gruß pwm

JJJMath

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11:56 Uhr, 12.07.2019

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Für den Fall x0 wäre das Supremum ja dann 1 und das Infimum auch 1, das es eine Konstante ist.
Dasselbe dann für x<0 wäre das Supremum und das Infimum beide 0.

Stimmt das so?
Antwort
ledum

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17:10 Uhr, 12.07.2019

Antworten
ja, stimmt.
ledum
JJJMath

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17:32 Uhr, 12.07.2019

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Danke :-)

Wenn ich das jetzt so habe, wie muss ich dann weiter machen, um zu beweisen, dass f integrierbar ist?
JJJMath

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17:32 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Danke :-)

Wenn ich das jetzt so habe, wie muss ich dann weiter machen, um zu beweisen, dass f integrierbar ist?
Antwort
pwmeyer

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18:07 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Hallo,

wenn 0(xn-1,xn] ist, dann ist die Obersumme gleich 1-xn-1. Weil die Feinheit der Zerlegungen gegen 0 geht, gehen die Obersummen gegen 1.

Analog erhält man das für die Untersummen.

Gruß pwm
JJJMath

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18:21 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Danke :-)

Dann habe ich also, dass die Obersumme = Untersumme =1 ist und deshalb ist die Funktion f integrierbar, richtig?

Das integral habe ich berechnet. Da bin ich auf 1 gekommen.

Wie kann ich nun noch zeigen, dass keine Stammfunktion existiert. Das hat doch was mit der Unstetigkeit bei x=0 zu tun, oder?
Antwort
ledum

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23:55 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Hallo
die Integralfunktion ist stetig, aber was ist ihre Steigung links und rechts von 0?
Du solltest doch wohl nicht das bestimmte Integral , also eine Zahl ausrechnen, sonder die Integralfunktion F(x)=-1xf(ξ)dξ
Gruß ledum
JJJMath

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09:28 Uhr, 13.07.2019

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Links von der 0 wäre die Steigung 0 und rechts von der 0 wäre die Steigung 1.

In der Aufgabe steht nur, dass ich das integral berechnen soll. Wie das genau gemeint ist, weiß ich nicht sicher.
Antwort
ledum

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15:23 Uhr, 13.07.2019

Antworten
Hallo
wenn man keine Stammfunktion zeigen will kann man sicher nicht das bestimmte Integral benutzen, eine stückweise definierte Pseudo-Stammfunktion kannst du ja hinschreiben, da die dann nicht überall differenzierbar ist ist es keine Stammfunktion.
Gruß ledum
JJJMath

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16:40 Uhr, 13.07.2019

Antworten
Ok, Danke :-)

Wie müsste ich das dann aufschreiben?

Die Aufgabe ist ja zu zeigen, dass f integrierbar ist. Das habe ich ja jetzt mit der Obersumme und der Untersumme getan.
Als nächstes soll ich das integral berechnen und dann noch zeigen, dass f auf [-1,1] keine Stammfunktion besitzt.

Wäre nett, wenn du mir das nochmal zeigen könntest, wie ich das jetzt schreiben muss :-)
Antwort
ledum

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21:44 Uhr, 13.07.2019

Antworten
Hallo
du kannst doch F(x) für x<0 als Integral hinschreiben, das 0 ergibt und für x>0 als I
F(x)=x und dass das bei 0 keine Ableitung hat, hast du ja selbst schon gesagt?
Aufschreiben musst du selbst üben, im Zweifelsfall findest du hier jemand, der dich verbessert.
Gruß ledum
JJJMath

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09:14 Uhr, 14.07.2019

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Dann versuche ich mal zu zeigen, dass f auf [-1,1] keine Stammfunktion besitzt.

limx0+F(x)-F(0)x-0=xx=1

limx0-(F(x)-F(0))x-0=0x=0

Da Dieb Eisen Grenzwerte nicht übereinstimmen existiert keine Stammfunktion.

Geht das in die richtige Richtung?
Antwort
ledum

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14:58 Uhr, 14.07.2019

Antworten
Hallo
du solltest jeweils F(x) und F(0) zuerst eintragen. und sagen in x0=0 nicht differenzierbar. und natürlich vorher F(x) aus der Riemansumme hergeleitet haben.
Gruß ledum
JJJMath

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16:02 Uhr, 14.07.2019

Antworten
Das verstehe ich gerade nicht so ganz, wie du das meinst :-)
Antwort
ledum

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17:35 Uhr, 14.07.2019

Antworten
Hallo
es sollte halt dabei stehen für x0F(x)=0 deshalb F(x)-F(0)=0-0=0 entsprechend für x>0
und ich weiss ja nicht genau wie du etwa F(x)=x für x>1 gezeigt hast (natürlich ist es klar, aber auch klares muss irgendwo gesagt bzw gezeigt werden.) Gruß ledum
JJJMath

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18:42 Uhr, 14.07.2019

Antworten
Oh ok, so meinst du das :-)
Antwort
ledum

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21:50 Uhr, 14.07.2019

Antworten
Bitte abhaken, wenn erledigt.
ledum
Frage beantwortet
JJJMath

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09:23 Uhr, 15.07.2019

Antworten
Alles klar