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Integrieren einer Sinusfunktion per Substitution?

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

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16:57 Uhr, 23.06.2018

Hallo,

ich sitze seit Stunden an einer Prüfungsaufgabe, die ich wirklich nicht gelöst bekomme.

Die Funktion

1 + 2 \cdot sin (2 x + π)

soll zwischen den Grenzen, 3pi/4 und 5pi/12 integriert werden, was per Substitution funktionieren soll?

So:

Zuallererst habe ich die Funktion so umgeschrieben, dass

π

in sinus wegfällt, was so aussieht meiner Meinung nach:

1 - 2 \cdot sin (2 x)

? Dann habe ich

2 x

substituiert in

u (x) = 2 x \to

dx=du/2? Also sieht nun meine Funktion wie folgt aus?

1 - 2 \cdot sin (u)

du/2 ? Nun habe ich noch gekürzt also,

\to 1 - sin (u)

du? Die Stammfunktion lautet nun

1 x - cos (u)

? Dann Rücksubstituiert

1 x - cos (2 x)

? dann die Grenze eingesetzt, wo ich auf 1*3pi/4-cos(6pi/4) komme, das Ergebnis stimmt dann aber nicht. Es muss pi/3+Wurzel3/2 rauskommen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Roman-22

17:19 Uhr, 23.06.2018

>

Zuallererst habe ich die Funktion so umgeschrieben, dass π in sinus wegfällt, was so aussieht meiner Meinung nach:

>

1−2⋅sin(2x)?

Ja, ist richtig - wenngleich nicht unbedingt nötig.

>

Dann habe ich

2 x

substituiert in u(x)=2x→ dx=du/2?
Auch korrekt.

>

Also sieht nun meine Funktion wie folgt aus?

>

1−2⋅sin(u) du/2 ?
Jein! Zum einen ist das nicht die Funktion - da ist ja auch noch ein Differential dabei und dann fehlt eine Klammer (die manche beim Integral auch weg lassen, weil sie das

\int

und das

d x

als eine Art Klammer sehen) und das scheint das Problem bei deiner nachfolgenden Rechnung zu sein.
Richtig wäre, dass du nun auf das Integral

\int_{x = \frac{5 π}{12}}^{x = \frac{3 π}{4}} (1 - 2 sin u) \frac{d u}{2}

gekommen bist.

>

Nun habe ich noch gekürzt also, →1−sin(u) du?
FALSCH!
Der Integrand müsste nun

\frac{1}{2} - sin u

sein!

>

Die Stammfunktion lautet nun 1x−cos(u)?
Unsinn! Wo soll denn jetzt ein

x

herkommen?! Du integrierst doch über

u!

>

Dann Rücksubstituiert
Alternativ hättest du auch die x-Grenzen bei der Substitution mittransformieren können.

P . S . :

Es zahlt sich übrigens aus, sich die lineare Substitution als Regel zu merken, damit man die lästige Substitution nicht immer langwierig anschreiben muss:

\int f (a \cdot x + b) d x = \frac{1}{a} \cdot F (a \cdot x + b) + C

Damit hat man dann sofort

\int (1 + sin (2 x + π)) d x = x - \frac{1}{2} \cdot cos (2 x + π) + C

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17:45 Uhr, 23.06.2018

Erstmal vielen Dank für deine Hilfe :-).

So, wenn ich nun aber das Integral wie du beschrieben hattest berechnen will,
d.h. mit dem Integrant den du am Ende berechnet hattest bekomme ich trotzdem nicht
das Ergebnis. Sorry falls ich mich dumm anstellen sollte, bitte hab Erbarmen^^.

So:

\int_{3 p i / 4}^{5 p i / 12} (1 - 2 s i n (2 x + p i)) d x

, was mit der Formel dann, so aussehen sollte? ->

\int_{a}^{b} (x - c o s (2 x + p i)) d x

?

Wenn ich nun aber nun die erste Grenze einsetze müsste ich doch auf folgendes kommen:

3pi/4-cos(5pi/2), aber ich finde 5 pi/2 nicht in der Tabelle? Ach egal ich glaub ich lass die Aufgabe alles gut ^^

Roman-22

17:59 Uhr, 23.06.2018

>

müsste ich doch auf folgendes kommen:

>

3pi/4-cos(5pi/2),

Für die obere Grenze, ja.

>

aber ich finde

5 \frac{π}{2}

nicht in der Tabelle?
Den Kosinus von ungeraden Vielfachen von

\frac{π}{2}

sollte man auch ohne Tabelle wissen!
Und zur Not hilft dir dein TR.
Alternativ überlege dir doch im Einheitskreis, wo denn der Winkel

5 \cdot \frac{π}{2}

liegt - notfalls durch Abzählen.

1 \cdot \frac{π}{2} . .

. oben

2 \cdot \frac{π}{2} . .

. links

3 \cdot \frac{π}{2} . .

. unten

. .

.
Und du wirst erstaunt feststellen, dass

5 \cdot \frac{π}{2}

dem Winkel

\frac{π}{2}

entspricht.

EDIT: Wenns dir leichter fällt kannst du ja auch wieder

cos (2 x + π) = - cos (2 x)

benutzen.

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18:04 Uhr, 23.06.2018

VIIEELEEEN VIELEN DANK!!!!!

Ja, mein Fehler he, sollte vielleicht mal eine Pause machen, um einen klaren Kopf zu bekommen, letztendlich stimmt nun alles :-)

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