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Integrieren und Wkt. berechnen V-Fkt.

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: dicht, Verteilungsfunktion

Lisa744 aktiv_icon

21:50 Uhr, 13.07.2018

Hallo!

Die Dichtefunktion wäre gegeben mit:

a \cdot (1 - x)

für

0 \leq x \leq 2

und für sonstige Werte gleich 0.

Die Wahrscheinlichkeit

P (0.7 \leq x \leq 1.9)

soll bestimmt werden.

Wenn ich integriere, dann erhalte ich ja als Stammfunktion

a \cdot (x - \frac{x^{2}}{2})

und wenn ich dann die Grenzen

1,9

(obere) und

0.7

(untere) einsetze bekomme ich

0,095 - 0,455

heraus. Das würde ja eine negativen Wert ergeben, was ja keinen Sinn macht für Wahrscheinlichkeiten.

Hat jmd. eine Idee, wo der Fehler liegt?

Liebe Grüße,
Lisa

pwmeyer aktiv_icon

21:54 Uhr, 13.07.2018

Hallo,

da empfehle ich mal die Aufgabe zu überprüfen.

Gruß pwm

Lisa744 aktiv_icon

21:58 Uhr, 13.07.2018

Hallo,
danke für die Antwort.

Die Aufgabe ist richtig formuliert. Es gibt eine Dichtefunktion

a \cdot (1 - x),

diese gilt für den Bereich

0 \leq x \leq 2

. Ansonsten nimmt sie den Wert 0 an.

Die Wkt. soll berechnet werden:

P (0,7 \leq x \leq 1,9)

.

Wie ich die Funktion integriert habe, hatte ich ja erwähnt.

Was ist denn an der Aufgabe nicht korrekt? Die Werte

0,7

und

1,9

liegen ja im Definitionsbereich.

abakus

22:02 Uhr, 13.07.2018

Hallo Lisa,
du kannst doch gar keinen konkreten (und insbesondere auch keinen negativen) Wert herausbekommen, solange du nicht den EINZIG MÖGLICHEN Faktor a bestimmt hast, für den sich tatsächlich eine Dichtefunktion ergibt.

Lisa744 aktiv_icon

22:06 Uhr, 13.07.2018

Hallo Abakus,

ich verstehe dich natürlich, nur habe ich a nicht gegeben. Also muss es irgendwie möglich sein?

Gibt es vielleicht einen statistischen Trick, sodass man die Konstante auslassen kann?

pwmeyer aktiv_icon

22:07 Uhr, 13.07.2018

Hallo,

die Funktion

f (x) = a \cdot (1 - x)

wechselt bie

x = 1

ihr Vorzeichen, kann also keine Dichtefunktion sein.

Gruß pwm

pivot aktiv_icon

22:34 Uhr, 13.07.2018

@Lisa744

Lade doch mal bitte ein Bild der Aufgabe hoch.

Lisa744 aktiv_icon

22:39 Uhr, 13.07.2018

Hallo!

Hier das Bild.

Vielen Dank für die Antworten bis jetzt!

pivot aktiv_icon

22:57 Uhr, 13.07.2018

Okay. Du hast die Betragsstriche vergessen. Man kann jetzt eine Fallunterscheidung machen.

f(x)=

a \cdot (1 - x), 0 \leq x < 1

a \cdot (x - 1), 1 \leq x \leq 2

0, sonst

Hier ist auch gewährleistet, dass

f (x) \geq 0

.

Also muss gelten:

a \cdot \int_{0}^{1} (1 - x) d x + a \cdot \int_{1}^{2} (x - 1) d x = 1

Lisa744 aktiv_icon

18:23 Uhr, 14.07.2018

Danke für die Lösung Pivot!

Noch eine Nachfrage, warum unterscheidest du für

P (0 \leq x < 1)

und

P (1 \leq x < 2)

? Die Dichtefunktion gilt ja von 0 bis 2.

Und in welche der beiden Funktionen würde ich die Wahrscheinlichkeiten

0,7

und

1,9

einsetzen? Jeweils einen Wert für jede Funktion?

Liebe Grüße

pivot aktiv_icon

19:15 Uhr, 14.07.2018

Hast du eingentlich schon den Wert für a ermittelt?

Noch eine Nachfrage, warum unterscheidest du für P(0≤x<1) und P(1≤x<2)? Die Dichtefunktion gilt ja von 0 bis 2.

Um die Betragsstriche loszuwerden. Wie löst man denn eine Betragsfunktion auf? Auf jeden Fall durch Fallunterscheidung. Da gibt es viele Beispiele im Netz (betragsfunktion auflösen).

Und in welche der beiden Funktionen würde ich die Wahrscheinlichkeiten 0,7 und 1,9 einsetzen?

Jeweils einen Wert für jede Funktion?

Sagen wir mal lieber Teilfunktion. Prinzipiell ist

P (0, 7 \leq x \leq 1, 9) = P (X \leq 1.9) - P (X \leq 0.7)

P (X \leq 1, 9) = a \cdot \int_{0}^{1} (1 - x) d x + a \cdot \int_{1}^{1, 9} (x - 1) d x

Da 1,9 größer als 1 ist, muss man erst einmal bis 1 integrieren und dann nochmal von 1 bis 1.9. Man muss die ganze Wahrscheinlichkeitsdichte zwischen

0

und

1, 9

berücksichtigen.

P (X \leq 0, 7) = a \cdot \int_{0}^{0, 7} (1 - x) d x

Edit:
Wenn man das kombiniert ergibt sich

P (X \leq 1.9) - P (X \leq 0.7) = a \cdot \int_{0, 7}^{1} (1 - x) d x + a \cdot \int_{1}^{1, 9} (x - 1) d x

Lisa744 aktiv_icon

19:32 Uhr, 14.07.2018

Vielen Dank das hat super geholfen!!

Kann ich a überhaupt bestimmen? Gegeben habe ich ja keinen Wert dafür. Sorry ich bin so grottig darin.

: (

pivot aktiv_icon

19:43 Uhr, 14.07.2018

Du kannst a bestimmen durch die Gleichung die ich gestern um 22:57 gepostet habe-ganz unten im Beitrag. Das wäre jetzt der nächste Schritt. Und der aller erste Schritt wäre

\int_{0}^{1} (1 - x) d x

zu berechnen.

Noch etwas Allgemeines. Da wir jetzt schon zwei Eigenschaften einer Dichtefunktion hatten, schau dir mal den Link an:
de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion#Zur_Konstruktion_von_Wahrscheinlichkeitsma%C3%9Fen

Da steht es drin, dass

f (x) \geq 0

und

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1

Lisa744 aktiv_icon

22:54 Uhr, 14.07.2018

Vielen Dank für die Mühen!!!

pivot aktiv_icon

23:08 Uhr, 14.07.2018

Gern. Wenn noch Fragen zu der Aufgabe aufkommen, dann kannst du sie ja noch später posten.

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