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Integritätsbereich
Universität / Fachhochschule
Ringe
Tags: Integritätsbereich, Körper, Nullteiler, Ring
 
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Hallo, ich bin verwirrt, was die Begriffe - Integritätsbereich - Nullteiler - nullteilerfrei angeht. Denn einerseits steht in unserem Skript: Ein Ring mit als einzigem Nullteiler heißt Integriätsbereich. Gilt \ dann ist ein Körper. Wir haben jedoch auch aufgeschrieben: Ein Ring ohne Nullteiler heißt nullteilerfrei bzw. Integriätsbereich. Und: Jeder Körper ist nullteilerfrei. Kann mir das jemand erklären? Aussage zwei müsste falsch sein, oder? Also so wäre es richtig: - Ein Ring mit als einzigem Nullteiler heißt Integriätsbereich. - Ein Ring bzw. Integritätsbereich ohne Nullteiler heißt nullteilerfrei. Gilt \ dann ist ein Körper. - Jeder Körper ist nullteilerfrei. Bin ich da richtig? LG |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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"mit 0R als einzigem Nullteiler" und "ohne Nullteiler" bedeutet dasselbe, denn 0 wird nie als Nullteiler gezählt. Eigentlich habe ich die Version "mit 0R als einzigem Nullteiler" nie gesehen, da war jemand auf eine blöde Weise innovativ. Streng genommen ist es sogar falsch so zu schreiben, denn 0 kann per Definition kein Nullteiler sein. S. Definition: mathepedia.de/Nullteiler.html |
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Ok, super danke! |
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Jetzt habe ich doch noch eine Frage dazu: Denn dann verstehe ich die Lösung der Aufgabe nicht (Siehe Anhang). Hier wird die ganze Zeit damit gearbeitet, dass Nullteiler ist. Wenn das geichbedeutend ist mit nullteilerfrei, kann doch auch nicht gelten?   |
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"Hier wird die ganze Zeit damit gearbeitet, dass 0R Nullteiler ist." Ja, mein Beileid, du hast einen "innovativen" Dozenten bekommen. "Wenn das geichbedeutend ist mit nullteilerfrei, kann doch auch nicht a⋅0R=0R gelten?" Doch, gilt in jedem Ring. Das ist eins von Ringaxiomen. |
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Hallo :-) Ich verstehe es leider immer noch nicht. Wenn Ring Integritätsbereich und isomorph zu Ring dann ist auch ein Integritätsbereich. Es muss also gezeigt werden, dass der einzige Nullteiler von ist. (Klar, wegen Definition, dass Integritätsbereich ein Ring mit als einzigem Nullteiler ist) "Weil ein Nullteiler ist, gibt es ein Element \ mit 0_R" (Def.: Ein Element heißt Nullteiler, wenn ein Element mit wenn . In anderen Quellen finde ich immer noch den Zusatz, dass auch sein muss. Das fehlt in unserer Definition, wird aber aus irgendeinem Grund in der Lösung mit \ hinzugefügt. Ich schätze mal, das fällt wieder unter "innovativer Dozent"? Allerdings verstehe ich nicht, wie aus dieser Definition des Nullteilers folgt, dass unsere Definition des Integritätsbereiches dasselbe bedeutet wie: Ein Ring ohne Nullteiler heißt Integritätsbereich. Für mich würde, aufgrund unserer Defintion, die oben zitierte Folgerung auch so lauten: Weil ein Nullteiler ist, gibt es ein Element mit . Dann wäre erlaubt (anders als in der Lösung und wie es nach der "normalen" Definition auch sein müsste). Einen Grund, wieso \ sehe ich mit unseren Definitionen wie gesagt nicht. hingegen müsste sein, aber damit ist ja die Gleichung für jedes erfüllt . Wo stehe ich hier auf dem Schlauch? |
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Na, es tut mir leid, aber der Beweis ist einfach hirnrissig. Da wird am Anfang in drei Zeilen bewiesen, dass ist, obwohl schon per Definition eines Ringes für jedes gilt. Also echt idiotisch. Deshalb mein Vorschlag: in die Tonne damit. Wenn du einen richtigen Beweis brauchst, dann nimm eine andere Quelle oder beweise es selbst. |
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