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Intergrieren

Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe

Tags: Integration

latiralis aktiv_icon

22:09 Uhr, 31.01.2013

kann mir jemand erklären wie man Betragesfunktionen intergriert?

z . B

\int [2 x - 4] d x

diese Klammern sollen Betragsstriche darstellen.

danke im vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

boot64 aktiv_icon

22:54 Uhr, 31.01.2013

hi

Da du keine Grenzen gegeben hast, musst du einfach nur nach dem normalen Schema intrigieren.
Wenn du ganz sicher gehen willst leitest du die Funktion einfach auf und setzt dann die aufgeleitete Funktion in Betragsstrichen.

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23:01 Uhr, 31.01.2013

ok sagen wir ich hätte noch die Grenzen. 2 und 4

\int_{2}^{4} [2 x - 4]

anonymous

23:20 Uhr, 31.01.2013

Für

x \geq 2 :

\int | 2 \cdot x - 4 | d x = x^{2} - 4 \cdot x + C_{1}

Für

x < 2 :

\int | 2 \cdot x - 4 | d x = - x^{2} + 4 \cdot x + C_{2}

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23:57 Uhr, 31.01.2013

kannst du mir das bischen näher erklären, dass wäre nett.

Muss ich einfacher die Vorzeichen ändern ? und was passiert eigentlich mit den Grenzen, bleiben die oder ändern die sich ?

anonymous

00:22 Uhr, 01.02.2013

Ist

a \geq 0 \Rightarrow | a | = a

Ist

a < 0 \Rightarrow | a | = - a

Die Funktion wird in zwei Intervalle geteilt.

2 \cdot x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2

\land

| 2 \cdot x - 4 | = 2 \cdot x - 4

2 \cdot x - 4 < 0 \Rightarrow x < 2

\land

| 2 \cdot x - 4 | = - 2 \cdot x + 4

Bei einem bestimmten Integral muss ich überprüfen, ob der Wert zwei in meinem Integral liegt und die Rechnung teilen.
Grafik

latiralis aktiv_icon

23:21 Uhr, 05.02.2013

wo genau kommt eigentlich diese

- 2 x + 4

her ?

etwa von der Definition vom Betrag ? Also

- (2 x - 4) = - 2 x + 4

??

muss ich nun beide Funktionen Aufleiten und dann addieren ?

funke_61 aktiv_icon

09:52 Uhr, 06.02.2013

Hallo,
ich versuch es nochmal anschaulich:

\int | 2 x - 4 | d x

Du hast eine Betragsfunktion, das heisst: Alles was zwischen den Betragsstrichen steht, wird durch die Betragsstriche positiv.
Eigentlich musst Du hier also, so wie GoedelIII gezeigt hat, formal durch Fallunterscheidung lösen.
Hier geht es auch etwas anschaulicher, weil Du Dir die Gerade

y = 2 x - 4

vorstellen kannst, mit
y-Achsenabschnitt bei

- 4

und der Steigung

m = 2

.
Diese Gerade schneidet die x-Achse bei

x = 2

soweit klar?
Wenn Du nun die Betragsstriche "drum herum" machst, wird alles was kleiner als

x = 2

ist positiv. Damit muss das Vorzeichen der Funktion in diesem Bereich wechseln.

Für

x < 2

gilt also wegen der Betragsstriche nun der Funktinsterm

- (2 x - 4) = - 2 x + 4

Unten habe ich Dir noch die Betragsfunktion

f (x) = | 2 x - 4 |

als Bild eingefügt.

Die Stammfunktion musst Du also für die Bereiche

x < 2

und

x > 2

voneinander getrennt bestimmen.

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