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Intergrieren der Funktion f(x)=12x/(5+2x^2)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Integration durch Substitution

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17:52 Uhr, 03.11.2018

Die Funktion ist wie in oben genannt

f (x) = \frac{12 x}{5 + 2 x^{2}}

Jetzt ist mir klar, dass man

5 + 2 x^{2} = t

substituiert und nach

x

auflöst, sodass

x = \sqrt{\frac{t - 5}{2}}

ergibt.

Integriert man das mit der Substitutionsregel:

\int \frac{12 \cdot \sqrt{\frac{t - 5}{2}}}{t} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{t - 5}{2}}}

kürzt sich

\sqrt{\frac{t - 5}{2}}

weg und man erhält

\int \frac{6}{t},

und integriert man das kriegt man

F (x) = 6 \cdot ln (t) = 6 \cdot ln (5 + 2 x^{2}) + C

hätte ich gedacht.
Es steht aber als Lösung

F (x) = 3 \cdot ln (5 \cdot 2 x^{2}) + C

und ich habe keine Ahnung wie die 6 zur 3 wird.

Wenn sich jemand die Zeit nimmt und mir meinen Fehler verrät, wäre ich überaus dankbar, ich verzweifle langsam an dem dämlichen Bsp

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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17:57 Uhr, 03.11.2018

Es geht einfacher: Bedenke:im Zähler steht "fast" die Ableitung des Nenners.
Was muss man nur noch tun, damit es perfekt" passt.:-)

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18:03 Uhr, 03.11.2018

Tut mir Leid, ich verstehe nicht ganz.
Was meinst du mit im Zähler steht fast die Ableitung des Nenners?

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18:10 Uhr, 03.11.2018

Die Ableitung des Nenner ist

4 x

. Und:

4 x \cdot 3 = 12 x

--->??

Es gilt doch:

f (x) = ln g (x)

wird abgeleitet zu

\frac{g' (x)}{g (x)}

Hilft das weiter? :-)

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18:32 Uhr, 03.11.2018

Nicht wirklich, ich verstehe nicht ganz was das mit dem Integral der Funktion zu tun hat, tut mir Leid wenn das komplett offensichtlich ist.

f´(x)=

\frac{4 x}{5 + 2 x^{2}}

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18:37 Uhr, 03.11.2018

Du kannst von der Ableitung des

ln

auf das Integral zurückschließen.

Was wird aus

3 \cdot ln (5 + 2 x^{2}),

wenn du es ableitest nach der

o

g

. Regel?

Roman-22

18:47 Uhr, 03.11.2018

Das kommt davon, wenn man Integrale so konsequent (und falsch) wie du ohne die zugehörigen Differentiale anschreibt!

Was ist denn bei deiner Substitution

d x

? Gib das mal ausführlich hier an und du wirst den vergessenen Faktor

\frac{1}{2}

hoffentlich sehen.
Stichwort: Kettenregel - "innere" Ableitung

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20:04 Uhr, 03.11.2018

@supporter

d . h

. ich kann einfach den den Nenner in

ln

hineingeben und erweitere dann dessen Ableitung mit einer Zahl, hier 3 um auf den Zähler zu kommen.
Geht das nur bei dem Bsp. oder ist das so irgendwie allgemein anwendbar?

@Roman-22 die Substitutionsregel ist ja

H (g (t)) =

h(g(t))*g´(t)
für die Ableitung von

g (t) = \sqrt{\frac{t - 5}{2}}

habe ich g´(t)=

\frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{t - 5}{2}}}

bekommen, und das dann nach Formel eingesezt. Vielleicht habe ich falsch abgelitten, aber ich finde das fehlende

\frac{1}{2}

nicht.

Roman-22

20:14 Uhr, 03.11.2018

Dein

g'

ist eben falsch. Da fehlt noch die innere Ableitung

\frac{1}{2}

Die Ableitung von

\sqrt{f (t)}

nach

t

ist eben

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{f (t)}} \cdot f' (t)

und dieses

f' (t)

ist bei dir eben nochmals

\frac{1}{2}

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20:14 Uhr, 03.11.2018

Das geht nur, wenn ein Integral mit

ln

rauskommt und die Ableitung des Nenner ganz wiederfindet oder mühelos wiederfindbar gemacht werden kann. :-)
Ähnliches geht oft auch bei Exponentialfunktionen.

f (x) = a^{x} - \to f' (x) = a^{x} \cdot l n a - \to F (x) = \frac{a^{x}}{l n a}

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20:19 Uhr, 03.11.2018

@Roman-22, @supporter ah alles klar, Vielen Dank!!!

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20:20 Uhr, 03.11.2018

@Roman-22, @supporter ah alles klar, Vielen Dank!!!

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