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Intervall der Standardabweichung

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Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß

Hawaiihemdtraeger aktiv_icon

12:55 Uhr, 14.03.2018

Hallo ihr Lieben,

ich habe eine Aufgabe vorliegen, die ich nicht ganz nachvollziehen kann:

Die Aufgabe heißt: "Eine Fertigungsmaschine produziert 10% Ausschuss.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Ausschussrate einer Charge von 1000 Stück um nicht mehr als die Standardabweichung vom Erwartungswert ab?

Mein erster Gedanke war:
Innerhalb des 1Sigma-Bereichs haben wir ja rund 68,3 PRozent aller Werte. Das wäre doch schon die Lösung, oder?

Ich habe aber berechnet:

μ - σ = 100 - \sqrt{90} = 90, 51

μ + σ = 100 + \sqrt{90} = 109, 49

Damit wäre doch das gesuchte Intervall [91 ; 109].
Und dann kann ich doch rechnen:

P (91 \leq X \leq 109) = Φ (\frac{109, 5 - 100}{\sqrt{90}}) - Φ (\frac{90, 5 - 100}{\sqrt{90}}) = 2 \cdot Φ (1) - 1 = 0, 68268 \approx 68, 3 %

Das heißt, auch rechnerisch käme ich auf diesen Wert.
Eine mir vorliegende Musterlösung rechnet allerdings:

P_{0, 1}^{1000} (∣ X - μ ∣ \leq σ) \approx 2 \cdot Φ (\frac{σ + 0, 5}{\sqrt{90}}) - 1 = 2 \cdot 0, 85313 - 1 \approx 70, 6 %

Wo liegt mein Denkfehler?

Vielen Dank für jede Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Enano

14:25 Uhr, 14.03.2018

. .

Hawaiihemdtraeger aktiv_icon

15:13 Uhr, 14.03.2018

Hallo Enano,
ich sehe nur Punkte :-)

Was soll das bedeuten?

Enano

15:23 Uhr, 14.03.2018

Hallo,

das soll bedeuten, dass ich eine dumme Bemerkung gelöscht habe.

"Innerhalb des 1Sigma-Bereichs haben wir ja rund

68,3

PRozent aller Werte."

Ja, alle Werte die innerhalb dieses Bereiches liegen, aber danach war ja gar nicht gefragt, sondern nach der Wahrscheinlichkeit für einen etwas größeren Bereich.

Hawaiihemdtraeger aktiv_icon

15:39 Uhr, 14.03.2018

Hm, ich komme noch nicht so richtig dahinter.
Wieso wird nach einem etwas größeren Bereich gefragt?
Es wird doch eigentlich genau danach wie groß, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Wert innerhalb der 1Sigma-Umgebung liegt, oder verstehe ich das wirklich so falsch?

Und wie wären denn bei der Musterlösung die korrekten Zwischenschritte?

Vielen Dank weiterhin für jeden helfenden Kommentar...

Liebe Grüße,
Hawaiihemdtraeger

Enano

00:13 Uhr, 15.03.2018

",oder verstehe ich das wirklich so falsch?"

Nein, das verstehst du nicht falsch.

Aber weil die Gaußsche Normalverteilung die Binominalverteilung nur annähernd wiedergibt, sollten bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die Intervallgrenzen korrigiert werden,

d . h

. die Grenzen um jeweils

0,5

nach außen verschoben

(s

. auch Stetigkeitskorrektur).

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09:06 Uhr, 15.03.2018

Ja, das verstehe ich. Aber genau diese Stetigkeitskorrektur habe ich ja berücksichtigt. In meiner Rechnung habe ich genau das gemacht...

Hawaiihemdtraeger aktiv_icon

11:19 Uhr, 15.03.2018

Und auch in der nächsten Aufgabe wird die gleiche Frage gestellt:

Eine Grippeepidemie wird nach Einschätzung der Statistiker bei 8 % der Bevölkerung eine ärztliche Behandlung notwendig werden lassen. Ein Großhandel möchte für die Apotheken einer Kreisstadt mit 20 000 Einwohnern Behandlungsmaterialien im voraus bestellen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Zahl der Patienten um nicht mehr als die Standardabweichung vom Erwartungswert ab?

Hier wieder die Rechnung der Musterlösung:

P (∣ X - μ ∣ \leq σ) \approx 2 \cdot Φ (\frac{σ + 0, 5}{σ}) - 1 = 2 \cdot Φ (\frac{\sqrt{20000 \cdot 0, 08 \cdot 0, 92} + 0, 5}{\sqrt{20000 \cdot 0, 08 \cdot 0, 92}}) - 1 = 2 \cdot Φ (1, 01) - 1 = 2 \cdot 0, 84375 - 1 \approx 68, 8 % .

Aber wie komme ich von

P (∣ X - μ ∣ \leq σ)

auf

2 \cdot Φ (\frac{σ + 0, 5}{σ}) - 1

?

Irgendwie wird mir das nicht wirklich klar...

Enano

11:57 Uhr, 15.03.2018

"In meiner Rechnung habe ich genau das gemacht..."

Das kann ich nicht erkennen.

Du hast gerechnet:

... = Φ (\frac{100 + \sqrt{90} - 100}{\sqrt{90}}) - Φ (\frac{100 - \sqrt{90} - 100}{\sqrt{90}}) = . .

.

Wie solltest du ansonsten auf

2 \cdot Φ (1) - 1

kommen?

Mit Korrektur müsste aber so gerechnet werden:

... = Φ (\frac{100 + \sqrt{90} + 0,5 - 100}{\sqrt{90}}) - Φ (\frac{100 - \sqrt{90} - 0,5 - 100}{\sqrt{90}}) = . .

.

Wenn Intervalle symmetrisch zum Mittelwert

μ

mit einem Abstand von jeweils

k σ

(k>0)liegen, dann läßt sich das Intervall in der Form:

μ - k σ \leq X \leq μ + k σ

oder

| X - μ | \leq k σ

oder

| \frac{X - μ}{σ} | \leq k

darstellen.

Gem. der standardnormalverteilten Zufallsvariablen

U = \frac{X - μ}{σ}

ergibt sich daraus das Intervall:

| U | \leq k

oder

- k \leq U \leq k

Die Wahrscheinlichkeit ist dann:

P (| X - μ | \leq k σ = P (| U | \leq k) = P (- k \leq U \leq k) = Φ (k) - Φ (- k) = Φ (k) - [1 - Φ (k)] = 2 \cdot Φ (k) - 1

Hawaiihemdtraeger aktiv_icon

12:30 Uhr, 15.03.2018

Ich habe mir das nochmal angeschaut.
DIe Stetigkeitskorrektur habe ich schon gemacht, ich habe aber folgendes getan:

Ich habe die Grenzen erstmal gerundet, so dass eben die Grenzen 91 und 109 rauskommen. Auf diese gerundeten Grenzen habe ich die Stetigkeitskorrektur angewandt. Kann hier der Fehler liegen?

Hätte ich auf die nicht gerundeten Intervallgrenzen die Stetigkeitskorrektur anwenden müssen?

Enano

12:44 Uhr, 15.03.2018

"Kann hier der Fehler liegen?"

Ja, sicher. Du hast erst

0,49

addiert und dann

0,5

subtrahiert bzw.

0,49

subtrahiert und

0,5

addiert. Damit hast du anstatt um jeweils

0,5

nur um jeweils

0,01

korrigiert, also so gut wie gar nicht.

"Hätte ich auf die nicht gerundeten Intervallgrenzen die Stetigkeitskorrektur anwenden müssen?"

Ja, das wäre zu empfehlen.

Hawaiihemdtraeger aktiv_icon

12:49 Uhr, 15.03.2018

Okay, dann habe ich wohl meinen Fahler gefunden.
Ich hatte gedacht, die Korrektur wende ich nur auf die "Glatten Werte" an. Aber dann weiß ich bescheid. Vielen Dank!

Hawaiihemdtraeger aktiv_icon

12:50 Uhr, 15.03.2018

Aber eine Rückfrage habe ich ja trotzdem noch: Kann mir jemand den Zwischenschritt wie obe erfragt noch irgendwie erläutern? Da komme ich nicht so ganz dahinter...

Enano

13:21 Uhr, 15.03.2018

Siehe www.youtube.com/watch?v=q1vc8uiqbc0

anonymous

13:27 Uhr, 15.03.2018

Um erstmal klar zustellen: Der unterschied der Rechnungen liegt darin wann gerundet wurde.

Welch Variante jetzt aber richtig ist finde ich Diskussions würdig.
Die Stetigkeitskorrektur wird ja gemacht um Diskrete "Werte" zu approximieren. In wie weit sollte es dann sinn machen die Stetigkorrektur auf die ungerundeten Grenzen anzuwenden. Schließlich heißt hier Diskret ja Ganzzahlig (umgs.).
Daher finde ich es durchaus angebracht erst zu runden und diese Grenzen dann approx. zu berechnen. Auch die rundung zum Mittelwert hin finde ich angebracht. SChließlich heist es ja "nicht MEHR als die Standardabweichung". Eine konservative rundung (vom mittelwert weg) würde zu einer Wahrscheinlichkeit führen die mehr als eine standartabweichung umfasst.

Exakte Lösung:(mit um

μ

symmetrischen Grenzen)

P (91 \leq X \leq 109) = P (90 < X \leq 109) = P (X \leq 109) - P (X \leq 90) = 0,6835

P (90 \leq X \leq 110) = P (89 < X \leq 110) = P (X \leq 110) - P (X \leq 89) = 0,7318

Approx Lösung für die Intervalle:

P (91 \leq X \leq 109) = Φ (\frac{9 + 0.5}{\sqrt{90}}) - Φ (\frac{- 9 - 0.5}{\sqrt{90}}) = 0.6834

P (90 \leq X \leq 110) = Φ (\frac{10 + 0.5}{\sqrt{90}}) - Φ (\frac{- 10 - 0.5}{\sqrt{90}}) = 0.7316

Also sehr nach an den exakten Intervallen.

Dagegen die nicht gerundete Lösung:

P (\sqrt{90} \leq X - μ \leq - \sqrt{90}) = Φ (\frac{\sqrt{90} + 0.5}{\sqrt{90}}) - Φ (\frac{- \sqrt{90} - 0.5}{\sqrt{90}}) = 0,7075

Diese Wahrscheinlichkeit tritt bei symmetrischen Intervallgrenzen überhaupt nicht auf und spiegelt also auch nicht den diskreten Charakter wieder.

Möchte mal also eine Lösung für die Diskrete Verteilung und möchte auch beachten dass die abweichung kleiner als ein

σ

sein soll, dann ist

0,6834

die richtige Lösung.

Hawaiihemdtraeger aktiv_icon

13:55 Uhr, 15.03.2018

Ja, super!!!
Sowohl das VIdeo als auch die zusammenfassende Erklärung von Zombe haben mir nochmal enorm geholfen!
Dann habe ich gar nicht mal so falsch gedacht - VIELEN DANK!!! Ihr seid spitze!

anonymous

14:28 Uhr, 15.03.2018

Das ist zumindest meine Überzeugung. Diese steht aber wohl im gegensatz zu andern Lösungsansätzen. Kannst ja mal noch warten was Enano zu sagen hat.

Enano

17:01 Uhr, 15.03.2018

Zombe hat recht,denn die Korrektur von

0,5

bei den nicht gerundeten Intervallgrenzen zu berücksichtigen, ist nicht sinnvoll, sondern erklärt lediglich die Musterlösung.

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