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Intervalle und Abstände

Schüler Gymnasium,

Tags: Intervall

MaxxxDamage

22:26 Uhr, 27.07.2012

Folgende Aufgabe, für die mir schwer fällt passenden Lösungsansatz zu finden:

Es sei S die Vereinigung von k disjunkten abgeschlossenen Intervallen im Einheitsintervall [0,1]. Angenommen S hat die die Eigenschaft, dass es für jeder reele Z. d in [0,1] zwei Punkte in S gibt, deren Abstand d beträgt. Es ist zu beweisen, dass die Summe der Intervalllängen in S mindestens 1/k beträgt.

Könnte mir jemand schrittweise die Beweisführung für diese Aussage veranschaulichen?

Danke im Voraus!
MfG
Max

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Ungleichungen - Fortgeschritten

hagman aktiv_icon

12:36 Uhr, 28.07.2012

Seien

0 \leq a_{1} \leq b_{1} < a_{2} \leq b_{2} < . .

< a_{k} \leq b_{k} \leq 1

die Endpunkte der

k

Intervalle

[a_{1}, b_{1}], ..., [a_{k}, b_{k}]

.
Die Intervallängen sind dann

l_{1} = b_{1} - a_{1}, ..., l_{k} = b_{k} - a_{k}

.
Angenommen

S = {[a_{1}, b_{1}], ..., [a_{k}, b_{k}]}

hat die Eigenschaft, dass jeder Abstand

\leq 1

durch zwei Punkte in

S

realisiert wird.
Für

1 \leq i < j \leq k

können mit einem Punkt

x \in [a_{i}, b_{i}]

und einem Punkt

y \in [a_{j}, b_{j}]

nur Abstände

d

mit

a_{j} - b_{i} \leq d \leq b_{j} - a_{i}

realisiert werden.
Ferner können zwei Punkte aus demselben Intervall

[a_{i}, b_{i}]

allenfalls Abstände

d

mit

0 \leq d \leq b_{i} - a_{i}

realisieren.
Die Menge

{d \in [0,1] | \exists x, y \in S : d (x, y) = d}

ist also

= ⋃_{i = 1}^{k} [0, b_{i} - a_{i}] \cup ⋃_{i = 1}^{k - 1} ⋃_{j = i + 1}^{k} [a_{j} - b_{i}, b_{j} - a_{i}]

.
Der Inhalt dieser vereinigung lässt sich abschätzen durch di Summe der Inhalte der einzelnen Mengen und ist somit

\leq \sum_{i = 1}^{k} (b_{i} - a_{i}) + \sum_{i = 1}^{k - 1} \sum_{j = i + 1}^{k} (b_{j} - a_{i} - a_{j} + b_{i})

= \sum_{i = 1}^{k} l_{i} + \sum_{i = 1}^{k - 1} \sum_{j = i + 1}^{k} (l_{i} + l_{j})

= \sum_{i = 1}^{k} l_{i} + \sum_{1 \leq i < j \leq k} (l_{i} + l_{j})

Jede Intervallänge

l_{ν}

taucht rechts genau

k - 1

Mal auf, nämlich für

j = ν

als Summand

l_{j}

zu den i-Werten

1 \leq i < ν

sowie zu

i = ν

als Summand

l_{i}

zu den j-Werten

ν < j \leq k

.
Somit ergibt sich

= \sum_{i = 1}^{k} l_{i} + (k - 1) \sum_{ν = 1}^{k} l_{ν} = k \cdot \sum_{i = 1}^{k} l_{i}

.
Wenn aber

S

tatsächlich die Eigenschaft hat, dass

[0,1] \subseteq {d \in [0,1] | \exists x, y \in S : d (x, y) = d},

dann folgt

1 \leq k \cdot \sum_{i = 1}^{k} l_{i}

bzw.

\sum_{i = 1}^{k} l_{i} \geq \frac{1}{k}

.

-
Tatsächlich gibt es einen gehörigen Teil Uberlappung:
Die kleinen Distanzen, die mit Punkten aus demselben Intervall gebiuldet werden, lassen sich mit jedem (nicht zu einem Punkt ausgearteten) Intervall bilden.
Wenn man also scharf

\sum_{i = 1}^{k} l_{i} = \frac{1}{k}

erreichen will, darf nur ein einziges Intervall positive LÄnge haben, alle anderen müssen zu einem Punkt ausarten.
Man findet tatsächlich leicht eine solche Konstellation:

[a_{1}, b_{1}] = [0, \frac{1}{k}]

sowie

[a_{i}, b_{i}] = [\frac{i}{k}, \frac{i}{k}]

für

2 \leq i \leq k

MaxxxDamage

18:51 Uhr, 28.07.2012

Hallo, danke. Das hat mir schon wesentlich weiter geholfen. Allerdings verstehe ich nicht ganz um welche Intervalllänge es sich bei

l_{v}

handelt.
Es soll ja gelten:

\sum_{1 \leq i < j \leq k} \frac{(l_{i} + l_{j})}{k - 1} = l_{v}

Weiterhin könnte man aus

\sum_{i = 1}^{k} l_{i} + (k - 1) \sum_{v = 1}^{k} l_{v} = k \sum_{i = 1}^{k} l_{i}

folgern, dass

\sum_{v = 1}^{k} l_{v} = \sum_{i = 1}^{k} l_{i}

gilt, allerdings stellt sich wieder die Frage welcher Intervall mit

l_{v}

belegt ist. Könnten Sie diesen Zusammenhang ein wenig anfängergerechter erklären?

MfG
Max

hagman aktiv_icon

14:26 Uhr, 29.07.2012

Die Frage ist: Wie oft wird die Länge eines beliebig ausgewählten Intervalls gezählt?
Einmal in der ersten Summe (für Abstände, die aus zwei Punkten aus eben diesem Intervall gebildet werden)
In der zweiten Summe als zweiter Summand, also als das

l_{j}

im Ausdruck

l_{i} + l_{j},

einmal für jedes

i,

das kleiner als der Index des betrachteten Intervalls ist; und als erster Summand, also als das

l_{i}

im Ausdruck

l_{i} + l_{j},

einmal für jedes

j,

das größer als der Index des betrachteten Intervalls ist. Insgesamt wird also jede Intervalllänge also (k-1)-Mal in der zweiten Summe gezählt.

Vielleicht ist es auch auf folgende Weise leichter verständlich:
Wenn es Punkte

x, y

mit

d i s t (x, y) = d

gibt, dann gilt entweder

x - y = d

und

y - x = - d

oder umgekehrt; jedenfalls, kann man als Differenz (statt Abstand) sowohl

d

als auch

- d

erreichen.
Wenn man statt Abständen Differenzen betrachtet, ist das Ziel also, insgesamt das Intervall

[- 1, 1]

abzudecken.
Nun ist

{x - y | x, y \in S} = ⋃_{i = 1}^{k} ⋃_{j = 1}^{k} {x - y | x \in [a_{i}, b_{i}], y \in [a_{j}, b_{j}]}

= ⋃_{i = 1}^{k} ⋃_{j = 1}^{k} [a_{i} - b_{j}, b_{i} - a_{j}]

Der Inhalt der Menge

{x - y | x, y \in S}

ist also

\leq \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{k} ((b_{i} - a_{j}) - (a_{i} - b_{j}))

= \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{k} (l_{i} + l_{j})

= \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{k} l_{i} + \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{k} l_{j}

= \sum_{i = 1}^{k} k \cdot l_{i} + k \cdot \sum_{j = 1}^{k} l_{j}

= 2 k \cdot \sum_{i = 1}^{k} l_{i}

.
Da das Intervall

[- 1, 1],

dessen Inhalt 2 ist, abgedeckt werden soll, folgt

2 \leq 2 k \cdot \sum_{i = 1}^{k} l_{i}

bzw.

\sum_{i = 1}^{k} l_{i} \geq \frac{1}{k}

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