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Universität / Fachhochschule

Tags: Differntialrechnung, Integralrechnung, Intervallschachtelung

flxizn aktiv_icon

21:32 Uhr, 11.11.2019

Hallo,

ich soll folgende Aufgabe lösen:

Es sei

0 < a < b

. Man definiert die Intervalle

[

an; bn],

n

∈

N > 0,

rekursiv durch

[a 1; b 1] :=

[a, b]

sowie durch

a_{n + 1} = \frac{2 a_{n} \cdot b_{n}}{a_{n} + b_{n}}

und

b_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2}

Zeigen Sie, dass sie eine Intervallschachtelung mit sqrt(ab) ∈

[

an; bn] für alle

n

bilden .

Zeigen Sie ferner die Ungleichung

b_{n} + 1 - a_{n} + 1 \leq \frac{1}{4 a} \cdot {(b_{n} - a_{n})}^{2}

Da ich leider die letzten Vorlesungen aufgrund einer Krankheit verpasst habe, habe ich keine Ahnung wie ich vorgehen muss und würde mich über jede Hilfe freuen.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

22:06 Uhr, 11.11.2019

> Da ich leider die letzten Vorlesungen aufgrund einer Krankheit verpasst habe, habe ich keine Ahnung wie ich vorgehen muss

Diese Ausrede kannst du dir sparen, denn zum Bearbeiten der Aufgabe braucht es kaum Vorlesungswissen, sondern vor allem algebraischer Umformungen:

Unter Voraussetzung

0 < a_{n} < b_{n}

kann man durch Einsetzen der genannten Iterationsgleichungen nachweisen, dass sämtliche vier Differenzen

a_{n + 1} - a_{n}

\sqrt{a_{n} b_{n}} - a_{n + 1}

b_{n + 1} - \sqrt{a_{n} b_{n}}

b_{n} - b_{n + 1}

positiv sind, was zusammen mit

a_{n + 1} b_{n + 1} = a_{n} b_{n} = \dots = a b

a_{n} < a_{n + 1} < \sqrt{a b} < b_{n + 1} < b_{n}

führt. Dann bleibt lediglich noch nachzuweisen, dass

lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0

ist (was mit Hilfe der nach obigen Betrachtungen leicht folgenden Ungleichung

b_{n + 1} - a_{n + 1} = \frac{(b_{n} - a_{n})^{2}}{2 (a_{n} + b_{n})} < \frac{1}{2} (b_{n} - a_{n})

auch gelingt), und die Schlinge zieht sich zu...

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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