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Intervallschachtelung und Cauchyfolge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: archimedischer Körper, Intervallschachtelungsprinzip

anonymous

18:23 Uhr, 19.02.2019

Hallo,
um den Beweis zu verstehen, warum aus einem archimedisch angeordnetem Körper das Intervallschachtelungsprinzip folgt muss ich mir klar machen warum folgendes gilt:

[

an,bn] sei eine Intervallschachtelung

\to

dann ist an eine Cauchyfolge.
Warum gilt das ?
Mir ist klar, dass der limes für

n

gegen unendlich von diam(In) gegen 0 geht für In=

[

an,bn] konvergiert. Außerdem gilt ja, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist.
Warum kann ich jetzt behaupten, dass an eine Cauchyfolge ist und nicht bn ? und warum ist an überhaupt eine Cauchyfolge ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

ermanus aktiv_icon

18:46 Uhr, 19.02.2019

Hallo,
für alle natürlichen Zahlen

n, r

gilt

∣ a_{n + r} - a_{n} ∣ = a_{n + r} - a_{n} \leq b_{n + r} - a_{n} \leq b_{n} - a_{n} \to 0

für

n \to \infty

.
Gruß ermanus

anonymous

19:08 Uhr, 19.02.2019

Ich glaube ich habe gerade meinen Denkfehler gefunden. Ich verstehe diesen Beweis jetzt folgendermaßen (hier kurz die Beweisidee präsentiert):
Sei In=

[

an,bn] eine Intervallschachtelung und weil ja an eben in dem Intervall beschränkt und durch die INtervallschachtelung monton wachsend ist konvergiert an
äquivalent läuft das mit bn.

\to

Intervallschachtelungsprinzip

Ist die Idee richtig ?

ermanus aktiv_icon

19:30 Uhr, 19.02.2019

Wie lautet denn die Behauptung genau und was wird vorausgesetzt?
In

ℚ

wäre das ja falsch!
Archimedisch angeordnet sein reicht also nicht.
Dass

a_{n}

und

b_{n}

Cauchyfolgen sind, gilt aber allemal.
Nehmen wir nun mal an, die Voraussetzungen wären so, dass eine
monoton wachsend (monoton fallende) Folge, die nach oben
(nach unten) beschränkt ist, konvergiert, dann müsstest du eigentlich
noch zeigen, dass

lim a_{n} = lim b_{n}

ist.

anonymous

19:40 Uhr, 19.02.2019

Ja also in R.
Behauptung: der archimedisch angeordnete Körper impliziert das Intervallschachtelungsprinzip
Vor: Sei: In=

[

an,bn] eine Intervallschachtelung.

anonymous

19:49 Uhr, 19.02.2019

Ich habe im Anhang eingefügt.
Ich verstehe den Schritt Dann ist an eine Cauchyfolge. Zu Epsilon

> 0 ... .

. und die Begründung einfach nicht..

ermanus aktiv_icon

19:54 Uhr, 19.02.2019

Dass

a_{n}

eine Cauchyfolge ist, habe ich dir doch um 18:46 Uhr bewiesen.

anonymous

19:59 Uhr, 19.02.2019

D . h

. in deinem Beweis ist Epsilon bn-an und weil das im unendlichen gegen 0 gehen wird der Abstand der Folgenglieder an+r und an ebenso beliebig klein ?

anonymous

19:59 Uhr, 19.02.2019

D . h

. in deinem Beweis ist Epsilon bn-an und weil das im unendlichen gegen 0 gehen wird der Abstand der Folgenglieder an+r und an ebenso beliebig klein ?

ermanus aktiv_icon

20:06 Uhr, 19.02.2019

Ja, salopp kann man das so sagen.
Und nach Voraussetzung in diesem Beweis konvergieren
die Cauchyfolgen

(a_{n}), (b_{n})

anonymous

20:13 Uhr, 19.02.2019

Vielen Dank. Ich denke, dass hat mir sehr geholfen.

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