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Invarianz der Wellengleichung

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

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11:51 Uhr, 29.09.2013

Hallo

In einer Aufgabe soll ich zeigen, dass die Wellengleichung:

\frac{\partial^{2} φ}{\partial x^{2}} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} φ}{\partial t^{2}}

(wobei

φ

eine Funktion

φ (x, t)

von

x

und

t

ist)

unter der Lorentztransformation:

x' = γ [x - β c t]

y' = y

z' = z

t' = γ [t - x \frac{β}{c}]

invariant ist.

Also die Invarianz zeigt man ja, indem man in der Ausgangsgleichung (hier die Wellengleichung)für

x, y, z

und

t

jeweils

x' (x, t), y' (y, t), z' (z, t)

und

t' (t, x)

einsetzt und durch geschicktes Umformen zeigt, dass am Schluss wieder die Ausgangsgleichung herauskommt. Also:

\frac{\partial^{2} φ}{\partial x'^{2}} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} φ}{\partial t'^{2}}

(mit

φ = φ (x', t')

oder?)

Also: im Internet hab ich gesehen, dass man nun die partiellen Ableitungen Schritt für Schritt berechnen muss.

\frac{\partial φ}{\partial x'} = \frac{\partial φ}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x'} + \frac{\partial φ}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial x'}

bei mir holperts bereits bei diesem Schritt. Wieso kommt da eine Ableitung nach der Zeit ins Spiel? Also ich sehe, dass das irgendwie etwas mit der Kettenregel zu tun hat und dass

x' (x, t)

ja eine Funktion von

x

und

t

ist, woher vermutlich das

\partial t

kommt, aber ich sehe nicht, wie man konkret auf diese Gleichheit kommt. Wäre froh, wenn mir jemand etwas Starthilfe geben könnte.

Gruss le chat

Yokozuna aktiv_icon

01:12 Uhr, 01.10.2013

Hallo,

das hast Du schon mal richtig gesehen, daß

φ

nun als Funktion von

x'

und

t'

aufgefasst wird, also

φ = φ (x', t')

. Nun hängen aber wegen der Transformationsgleichungen

x' = γ \cdot [x - β c t]

und

t' = γ \cdot [t - x \cdot \frac{β}{c}]

sowohl

x'

als auch

t'

jeweils von den beiden Variablen

x

und

t

ab. Man kann also

φ

schreiben als

φ = φ (x' (x, t), t' (x, t))

Das Ziel ist es nun, sowohl

\frac{\partial^{2} φ}{\partial x^{2}}

als auch

\frac{\partial^{2} φ}{\partial t^{2}}

durch partielle Ableitungen nach

x'

und

t'

auszudrücken. Dabei wird sehr intensiv von der Kettenregel Gebrauch gemacht. Fangen wir also mal mit

\frac{\partial φ}{\partial x}

an:

\frac{\partial φ}{\partial x} = \frac{\partial φ}{\partial x'} \cdot \frac{\partial x'}{\partial x} + \frac{\partial φ}{\partial t'} \cdot \frac{\partial t'}{\partial x}

Wie kommt dieser Ausdruck zustande? Ich will

φ

partiell nach

x

ableiten. Nun hängt

x'

ja von

x

ab. Also leite ich

φ

zuerst partiell nach

x'

ab und multipliziere mit der partiellen Ableitung von

x'

nach

x

(Kettenregel). Damit bin ich aber noch nicht fertig, denn

t'

hängt ja ebenfalls von

x

ab. Also leite ich

φ

nochmal partiell nach

t'

ab und multipliziere mit der partiellen Ableitung von

t'

nach

x

(nochmal Kettenregel). Deshalb bekommt man hier zwei Summanden.
Aus den Transformationsgleichungen bekommt man sofort

\frac{\partial x'}{\partial x} = γ

\frac{\partial t'}{\partial x} = - γ \cdot \frac{β}{c}

Wenn man das oben einsetzt, erhält man:

\frac{\partial φ}{\partial x} = \frac{\partial φ}{\partial x'} \cdot \frac{\partial x'}{\partial x} + \frac{\partial φ}{\partial t'} \cdot \frac{\partial t'}{\partial x} = \frac{\partial φ}{\partial x'} \cdot γ - \frac{\partial φ}{\partial t'} \cdot γ \cdot \frac{β}{c}

Dieses Spiel muß man jetzt noch einmal durchführen, um den entsprechenden Ausdruck für

\frac{\partial^{2} φ}{\partial x^{2}}

zu bestimmen (das ergibt dann 4 Summanden!).
Ich würde sagen, probiere mal, ob Du das hinkriegst.
Mit

\frac{\partial^{2} φ}{\partial t^{2}}

läuft es dann genauso. Wenn man auch dieses hat, setzt man die gewonnenen Ausdrücke in

\frac{\partial^{2} φ}{\partial x^{2}} - \frac{1}{c^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} φ}{\partial t^{2}} = 0

ein und schaut, was dabei herauskommt (hoffentlich das Richtige).

Wenn es irgendwo klemmt, dann meldest Du Dich einfach wieder.

Viele Grüße
Yokozuna

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