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Startseite » Forum » Invarianz von Endomorphismen (fg=gf, f,g End V)
Invarianz von Endomorphismen (fg=gf, f,g End V)
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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Hallo an alle, wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen. Für die Endomorphismen f,g des n-dimensionalen Vektorraums V gelte fg=gf. 1. Zu zeigen: Die Eigenräume von f sind g-invariant, die Eigenräume von g sind f-invariant 2. Zu zeigen: wenn sowohl f wie g jeweils paarweise verschiedene Eigenwerte besitzen, lassen sich f und g "simultan diagonalisieren", d.h. es gibt eine Basis von V, in der beide durch Diagonalmatrizen dargestellt werden. Vielen Dank! mfg Rene |
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anonymous 14:00 Uhr, 05.05.2004 |
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a) ist einfach b) steht (fuer Matrizen formuliert) bei Holz/Wille, Repetitorium der Linearen Algebra II. Gruss, Th. Wirth |
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wenn man nicht weiß wie's geht, kann es ja einfach sein, wie es will ;-) Das ist so: gegeben ist: f°g=g°f wir wenden das auf einen Vektor v Element vom Eigenraum von f an: f°g (v) = g° f(v) = g(av) (weil f mindestens einen Eigenwert a hat, sonst wär die Frage mit den Eigenräumen ja sinnlos. Daraus folgt: f (g(v)) = g(av) = a (g(v)) man sieht hier, daß der Vektor (g(v)) ein Eigenvektor von f ist. Somit ist g(v) Element vom Eigenraum von f, Ker(f-a*Id) zu zeigen war: die Eigenräume von f ist g_invariant: also f(g(v)) ist Teilmenge von v mit v beliebiges Element aus Ker(f-a*Id) Das gilt aber laut dem eben ausgeführten beweis, weil g(v) ein Eigenvektor von f ist. Ich denke, daß die zweite Teilaufgabe also die Eigenräume von g sind f-invariant äquivalent zu lösen ist. Ich hoffe ich konnte dir da weiterhelfen und daß das hier so einigermaßen stimmt. Ist auch unsere nächste Übungsaufgabe =) Viele Grüße. Tschö Paula |
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Moment, ich glaub der Rückschluss war nicht ganz korrekt, nochmal: Die Eigenräume von f sind g_invariant. das ist zu zeigen: g(Ker(f-a*id) ist Teilmenge vom Ker(f-a*Id) also: g(f(v)) = g(av)= a (g(v)) und das ist ein Element vom Kern von (f-a*Id) g(v))=av = a ist Element vom Kern von (f-a*Id) mit v Element Ker(f-a*Id). und deshalb gilt die Behauptung. oder so... =) Viele Grüße. Tschö Paula |
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