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Inverse, Caley-Hamilton, minimales Polynom

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Matrizenrechnung

Tags: Caley-Hamilton, Matrizenrechnung, minimales Polynom

sventja

16:49 Uhr, 19.05.2010

Es sei $A \in M_{n} (ℝ)$ .
Zu zeigen:
$(a) A$ ist invertierbar genau dann, wenn $p_{A} (0) \neq 0$ gilt.
$(b) A$ ist invertierbar genau dann, wenn $m_{A} (0) \neq 0$ gilt.
$(c)$ Berechnen Sie die Inverse von A als Polynom in A. Verwenden Sie den Satz von Cayley-Hamilton.

hagman aktiv_icon

17:19 Uhr, 19.05.2010

Erst $(c) :$
Sei $P \in ℝ [X]$ ein Polynom mit $P (A) = 0$ aber $P (0) \neq 0$ .
Dann hat $P$ die Form $P (X) = a_{0} + X \cdot Q (X)$ mit einem Polynom $Q \in ℝ [X]$ und $a_{0} \neq 0$ .
Dann ist $R (X) = - \frac{1}{a_{0}} \cdot Q (X)$ ein Polynom $R (X) \cdot X = X \cdot R (X) = 1 - P (X),$ also $R (A) \cdot A = A \cdot R (A) = E_{n} - P (A) = E_{n}$

Jetzt $(a) :$
Wenn $p_{A} (0) \neq 0$ ist die Voraussetzung der Überlegung von oben erfüllt, also A invertierbar.
Wenn $p_{A} (0) = 0,$ bedeutet dies $det (A - 0 \cdot E_{n}) = 0,$ also $det (A) = 0$ und $A$ ist nicht invertierbar.

Schließlich $(b) :$
Da $m_{A}$ und $p_{A}$ dieselben Nullstellen haben, ist (b) $\Leftrightarrow (a)$

sventja

16:19 Uhr, 24.05.2010

Hey!
Kannst du mir $c)$ nochmal erklären? Wieso $Q (X) \cdot X$ und nicht einfach nur $Q (X)$ ? Und den Schritt mit $R (X)$ verstehe ich leider auch nicht...wieso ergibt das $1 - P (X)$ ?
Wir müssen mit der Methode von $c)$ die Inverse von $(\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 2 & 4 & 4 \\ 2 & 6 & 6 \end{matrix})$ berechnen.

sventja

22:28 Uhr, 24.05.2010

Also ich hab mal versucht, deinen Vorschlag auf mein Beispiel zu übertragen, komme da aber nicht weiter...
Ich habe als charakteristisches Polynom
$p_{A} (t) = - t^{3} + 12 t^{2} + 8$ und wenn ich dann $p_{A} (0)$ ausrechne ergibt das auch die Nullmatrix.
Meinst du jetzt, dass man $p_{A} (t)$ auch darstellen kann als $p_{A} (t) = a_{0} + t \cdot q (t) = 8 + t \cdot (- t^{2} + 12 t)$ und dann soll $r (t) = - \frac{1}{8} \cdot q (t) = - \frac{1}{8} \cdot (- t^{2} + 12 t) = \frac{1}{8} t^{2} - \frac{12}{8} t$ sein? Wie kommst du dann drauf, dass $r (t) \cdot t = 1 - p_{A} (t) = t^{3} - 12 \cdot t^{2} - 7$ ist?

Ich verstehe auch leider schon die Formulierung "die Inverse von A als Polynom in A" nicht und verstehe somit auch garnicht, wo dein Weg hinführen soll $: ($

rapish aktiv_icon

11:29 Uhr, 25.05.2010

dein Polynom für $d)$ ist aufjeden Fall richtig - mich wundert jedoch, warum du bei $t = 0 p (0) = 0$ herausbekommst - bei mir bleibt da $p (0) = 8$ stehen.

Naja das brauchst du jedenfalls nicht

Aufgabe $c)$ und auch Aufgabe $d)$ kannst du nach dem gleichen Schema lösen.

schau in deinem Hefter nach, wie bei dir ein allgemeines charakteristisches Polynom definiert wurde, danach ersetzt du jedes $t$ durch ein A und schließlich $a_{0},$ also die Zahl ohne $t$ durch $E$

Schließlich stellst du die Gleichung so um, dass

$E = A \cdot (... ...)$ herauskommt
Das $(... ...)$ stellt damit dein $A^{- 1}$ dar, müsste eig. verständlich sein.

auf diese Weise bekommst du bei $c)$ eine allgemeine Form für $A^{- 1}$ heraus und bei $d)$ durch einsetzen und ausmultiplizieren ein spezielles $A^{- 1}$ .

Gruß rapish

sventja

13:25 Uhr, 25.05.2010

Hey!
Danke für die Antwort!
Ich setze also $p_{A} (A) = a_{n} \cdot A^{n} + a_{n - 1} \cdot A^{n - 1} + ... + a_{1} \cdot A + a_{0} \cdot E$
Um das nach $E$ auflösen zu können, muss ich das mit Null gleichsetzen...warum mache ich das?
Aus jeden Fall ist dann $E = (- \frac{a_{n}}{a_{0}} \cdot A^{n - 1} - \frac{a_{n - 1}}{a_{0}} \cdot A^{n - 2} - ... - \frac{a_{1}}{a_{0}}) \cdot A$ und somit das in der Klammer gleich $A^{- 1},$ ja?

$P . S$ . Ich meinte auch $p_{A} (A) = 0$

sventja

13:30 Uhr, 25.05.2010

Ach so...ich mach das, weils einfach so ist (Caley-Hamilton)...wie ich ja bei $P . S$ . geschrieben habe :-)

ok, danke für die hilfe!

rapish aktiv_icon

13:45 Uhr, 25.05.2010

kein Problem

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