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Inverse Elemente in Körper und Gruppen

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Gruppen, inverse Elemente, Körper

 
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anonymous

anonymous

10:28 Uhr, 07.08.2013

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Hallo zusammen !

Ich habe eine Frage zu den inversen Elementen in Körpern und in Gruppen:

Ist es richtig, dass in einem Körper zu jedem Element ein Inverses vorhanden sein muss, so dass a⋅ a(inv) =1 ergibt ? ( So stehts im Heuser )

Im Unterschied dazu führt das Inverse eines Elementes einer Gruppe nicht notwendigerweise zu 1, sondern stets zum Neutralelement. Also Beispiel:

Betrachten wir die Gruppe (Z;+). In dieser Gruppe ist das Neutralelement n die 0, weil a Element Z+0=a. Also a+n=a

Das inverse ist jetzt diejenige Zahl, die man zu a addiert, damit n herauskommt. Im Fall dieser Gruppe wäre das also immer -a.

Stimmt das so ? Habe ich das richtig verstanden ?

Ich frage, weil dies ja bedeutet, dass das inverse in Gruppen ggf. anders gebildet wird, als in Körpern. Ist das korrekt ?

Grüsse

von Mathias


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Bummerang

Bummerang

10:56 Uhr, 07.08.2013

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Hallo,

zu allererst muss Dir folgendes klar sein:

Eine Gruppe G ist eine algebraische Struktur aus eine Menge und einer Operation, also G=(MG,OG). Da kann z.B. MG=ℤ und OG= "+" sein, dann wäre G=(ℤ,+). Dann spricht man von einem Inversen in G und meint eigentlich ein Inverses in MG bzgl. der Operation OG, also ein Inverses in ℤ bzgl. der Addition. Dass man dies so verkürzt machen kann, liegt daran, dass es nur eine Menge und nur eine Operation in dieser algebraischen Struktur gibt, Verwechslungen demzufolge ausgeschlossen sind.

Ein Körper K aber ist eine algebraische Struktur aus einer Menge und ZWEI Operationen, also K=(MK,O1,K,O2,K). Hier existieren zu einem Element aus MKi.d.R. zwei verschiedene Inverse, eines bzgl. der Operation O1,K und eines bzgl. der Operation O2,K. Wenn MK=ℤp (Restklassenkörper bzgl. einer Primzahl p)z.B. für p=5,O1,K= "+" und O2,K= "*" ist, dann hat die 4 folgende Inverse:

bzgl. "+" :1

bzgl. "*" :4

Bei der 2 ist es aber so:

bzgl. "+" :3

bzgl. "*" :3

In einem Körper sind die beiden Operationen nicht austauschbar, denn es gilt, dass es für alle Elemente der Menge ein Inverses bzgl. der ersten Operation O1,K, hier also der Addition, geben muss, während es bzgl. der Multiplikation nur ein Inverses geben muss, wenn das Element NICHT das Nullelement der ersten Operation ist. Das Nullelement von "+" ist 0 und offensichtlich gibt es kein Element a∈ℤ5, so dass 0⋅a=1, denn 1 ist das neutrale Element bzgl der zweiten Operation, hier "*".