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Inverse Funktion

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Tags: Funktion, Inverses

CarlaColumna aktiv_icon

10:32 Uhr, 29.11.2013

Guten Morgen,

sei

f : ℝ \to ℝ

eine Funktion gegeben durch

f (x)

für

x^{3}, x < 0

für

x^{2}, 0 \leq x \leq 1

für

2 x - 1 x > 1

Bestimmen Sie die inverse Funktion von

f

und zeichnen Sie ihren Graphen.

Ich erinnere mich noch durchaus wie man es in der Schule gemacht hat, jedoch jetzt an der Uni weiß ich nicht so recht, weil die Funktion Bedinungen hat. In der Vorlesung hatten wir auch noch nichts zu dem Thema, vllt kommt's jetzt erst nächste Woche.
Ich würde aber gerne irgendwie die Aufgabe schon anfangen. Könnte mir jemand bitte einen Ratschlag geben?

Ich wäre wirklich dankbar dafür.

Eine Umkehrfunktion, bzw. eine inverse Funktion muss eine bijektive Funktion sein die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist.

Anders geht's nicht.
Nehmen wir an es sei

f : A \to B

eine Funktion und es gelingt die Gleichung

y = f (x)

durch Äquivalenzumformung in die Form

x = g (y)

zu bringen, also äquivalent nach

x

aufzulösen dann haben wir unsere Umkehrfunktion. Wie ich das hier machen soll ist mir aber unklar

: (

.

Liebe Grüße

Carla

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

rundblick aktiv_icon

10:53 Uhr, 29.11.2013

vielleicht erinnerst du dich auch noch dunkel daran, dass Funktion und Umkehrfunktion
durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden aufeinander abgebildet werden können?

Ja?

\to

dann hilft dir vielleicht eine Zeichnung, um mit der Aufgabe nachher klarzukommen..

Beispiel :

für

x < 0 \to y = x^{3}

und

y = x^{\frac{1}{3}}

sind entsprechend "verwandt" .. schau dir's an.

usw..

CarlaColumna aktiv_icon

10:58 Uhr, 29.11.2013

Ja ich erinnere mich daran, dass Funktion und Umkehrfunktion durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden aufeinander abgebildet werden können.

Ja verwandt sind sie, aber nicht die Umkehrfunktion.

prodomo aktiv_icon

15:00 Uhr, 29.11.2013

f (x)

abschnittsweise definiert ist, wird es die Umkehrfunktion auch sein. Ich kann nur den Rat mit der Zeichnung unterstreichen.

CarlaColumna aktiv_icon

15:11 Uhr, 29.11.2013

Ja zeichnen ist schön, ich mag zeichnen, aber wie soll ich denn nur anhand der Zeichnung die Umkehrfunktion bestimmen?

CarlaColumna aktiv_icon

15:25 Uhr, 29.11.2013

Ja zeichnen ist schön, ich mag zeichnen, das ist ja der zweite Teil der Aufgabe aber wie soll ich denn nun anhand der Zeichnung die Umkehrfunktion bestimmen?

für

f (x) = x^{3}

für die Werte

x < 0

y = x^{3} \Rightarrow x = \sqrt[3]{y} = y^{\frac{1}{3}}

für

f (x) = x^{2}

für die Werte

0 \leq x \leq 1

y = x^{2} \Rightarrow x = \sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}}

und für

f (x) = 2 x - 1

für die Werte

x > 1

y = 2 x - 1 \Rightarrow x = \frac{y - 1}{2}

Oder wie soll das sein? Das meinte doch Rundblick mit "verwandt" also Umkehrfunktion für den gegebenen Abschnitt?

Soll das alles sein?

prodomo aktiv_icon

16:21 Uhr, 29.11.2013

Ja, das war gemeint. Im Bild siehst du doch, dass es eine abschnittsweise definierte Umkehrfunktion gibt. Bis auf den Fehler (es muss im dritten Teil

y = \frac{1}{2} \cdot (x + 1)

heißen) hast du die ja auch gefunden.

CarlaColumna aktiv_icon

16:43 Uhr, 29.11.2013

Wieso ist denn da ein Fehler? Kann ich nicht nachvollziehen.

wenn ich

y = 2 x - 1

habe und das nach

x

auflöse erhalte ich doch:

x = \frac{y - 1}{2}

Wo ist denn da der Fehler?

Wieso soll es

y = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)

heißen? Das ist doch nirgends gegeben?

rundblick aktiv_icon

18:04 Uhr, 29.11.2013

also zunächst :

y = x^{3}

und

x = y^{\frac{1}{3}}

beschreiben die gleiche Punktmenge (du hast nur die Umkehrung,
nicht die Umkehrfunktion berechnet)

dazu musst du nun noch die Rolle von

x

und

y

vertauschen

dh: die UmkehrFUNKTION von

y = x^{3}

hat die Gleichung

y = x^{\frac{1}{3}}

ok?

und: um

y = 2 x - 1

nach

x = .

. aufzulösen wirst du zuerst auf beiden Seiten

+ 1

rechnen

\to

y + 1 = 2 x .

. und dann auf beiden Seiten durch

2 \to x = \frac{y + 1}{2}

(und das ist eine andere Darstellung für die gleiche Gerade)

so
und die Umkehrfunktion von

y = 2 x - 1

hat dann also die Gleichung

y = \frac{x + 1}{2}

jetzt alles klar?

CarlaColumna aktiv_icon

18:12 Uhr, 29.11.2013

Ja jetzt ist alles klar, damit wär's dann getan, zeichnen und fertig, oder ist noch was?

Danke Euch sehr!

LG Carla

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