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Inverse Funktion

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Tags: Funktion

Domsi aktiv_icon

14:44 Uhr, 07.11.2010

Hallo.

Ich hab ein Problem bei den inversen Funktionen.
Folgende Angabe:

Bestimmen Sie das maximale Definitionsintervall I der nachfolgenden Funktion. Überprüfen Sie, ob sie eine inverse Funktion besitzen, und berechnen Sie ggf. die:
a) $f (x) = \sqrt{3 x + 1} + 1$

b) $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

Wie beweist man ob die Funktion eine inverse Funktion besitzt?

a) max. Definitionsintervall in den $R [0, \infty]$ da x<0 eine negative Wurzel ergeben würde.

Reicht das so für das max. Definitionsintervall? Oder fehlt da noch etwas? Ein Beweis od. sonstiges?

Wie kann ich nun beweisen ob diese Funktion eine inverse Funktion besitzt?

Da die Funktion im Definitionsbereich/intervall surjekt und injektiv ist, ist sie somit auch bijektiv. Laut meinem Skriptum ist eine bijektive Funktion auch eine inverse Funktion.
Allerdings hab ich dies nur durch "anschauen" des Graphen festgestellt. Wie beweise ich so etwas rechnerisch?

Die inverse Funktion für a) würde dann lauten...

$f^{- 1} (y) = \frac{y^{2} - 2 y}{3}$

Nur leider fehlt mir der rechnerische Beweis für die Bijektivität. Könnte mir jemand dabei helfen?

Danke im voraus!
Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michael777 aktiv_icon

19:30 Uhr, 07.11.2010

a)

maximale Definitionsmenge
der Ausdruck unter der Wurzel darf nicht negativ werden
also

3 x + 1 \geq 0

x \geq - \frac{1}{3}

D = {x | x \geq - \frac{1}{3}}

oder anders ausgedrückt:

D = [- \frac{1}{3}; \infty [

Umkehrfunktion von

y = \sqrt{3 x + 1} + 1

x

und

y

vertauschen, dann nach

y

auflösen

x = \sqrt{3 y + 1} + 1

{(x - 1)}^{2} = 3 y + 1

y = \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - \frac{1}{3}

mit

x \geq - \frac{1}{3}

wegen gleichem Definitionsbereich

0Greg0 aktiv_icon

01:28 Uhr, 09.11.2010

Ich versuch das mal zu erklären.

Du musst beweisen dass f(x) bijektiv ist, also surjektiv und injektiv. Die Injektivität beweist du indem du die Monotonie der Funktion beweist. Dafür überprüfst du entweder f(x+1)>f(x) für streng monoton steigend bzw. f(x+1)<f(x) für streng monoton fallend. Kommt dann irgendetwas in der Art 3>1 heraus, dann ist die Funktion z.B. streng monoton steigend.
Surjektivität bedeutet im Grund nichts als das jedes Element in der Zielmenge also in Y von einem Funktionswert der durch die Urmenge X gebildet wird angenommen wird.

f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}

Die Definitionsmege ist nicht schwer zu finden. Man überlegt sich unter welchen Umständen die Funktion undefiniert ist. Das ist dann der Fall wenn der Nenner 0 wird.
x+1>0 x>-1

Injektivität:

f (x + 1) > f (x)

\frac{x}{x + 2} > \frac{x - 1}{x + 2}

x * (x + 1) > (x - 1) * (x + 2)

x^{2} + x > x^{2} - x + 2 x - 2

0 > - 2

... daraus folgt streng monoton steigend, also Injektivität

f (- 1, + \infty) \to (- 1, + \infty)

ist surjektiv da

\forall y \in (- 1, + \infty) \exists x \in (- 1, + \infty)

Daraus folgt dass f(x) = y.
Damit haben wir die Surjektivität der Funktion erkannt.

Wenn die Funktion injektiv und surjektiv dann ist sie auch bijektiv also invertierbar.

P.S. Studierst du auch wie ich ET auf der TU Graz? :-)

Domsi aktiv_icon

14:50 Uhr, 09.11.2010

Hi!

Ja studieren auch ET an der TU ;-)

Danke für die Infos. Habe es dann heute mit dem Konversatorium verstanden.

Allerdings ist in deiner Überlegung eine Fehler...

x + 1 \neq 0 - \to x \neq 1

der Nenner darf schon negativ werden, nur nicht 0 ;-)

Daher Def. R\\

{

-1}

Aber trotzdem danke!

Lg

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