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Inverse Matrix
Universität / Fachhochschule
Tags: Inverse Matrix, Kommutativität, quadratische Matrix
 
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Hallo Mir liegt folgende Definition vor in Bezug auf die Invertierbarkeit von Matrizen: Eine quadratische (n x n, K)-Matrix A heisst invertierbar, wenn eine (n x n, K)_Matrix B existiert mit AB = BA = E. Dass AB = E oder BA = E gilt, ist also noch kein Beweis dafür, dass B die inverse Matrix zu A ist (oder umgekehrt) - denn laut Definition muss die Kommutativität gelten, das heisst AB = BA = E Daher meine Frage: Gibt es überhaupt Matrizen A und B, für die gilt: AB = E, nicht aber BA = E (oder umgekehrt)? Falls nicht, wozu die Kommutativität? Vielen Dank! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, Im Falle eines endlichen , was ja hier gemeint ist, reicht Linksinvertierbarkeit bzw. Rechtsinvertierbarkeit aus, d.h. aus kann man auf schließen und umgekehrt. Wenn du daran interessiert bist, wie man dies beweist, sag Bescheid ;-) Gruß ermanus |
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Vielen Dank! Ja, am Beweis wäre ich sehr interessiert, denn Mathe ohne Beweise ist wie Suppe ohne Salz ... :-) |
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Wir betrachten für den -Vektorraum den Endomorphismus . Da die Dimension von endlich ist, gilt für einen Endomorphismus : injektiv surjektiv. injektiv bedeutet, dass und damit auch linkskürzbar ist, surjektiv bedeutet, dass und damit auch rechtskürzbar ist. Sei nun , dann ist . Da linkskürzbar ist, folgt . Bei unendlich-dimensionalem funktioniert das übrigens nicht. |
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Toll - vielen Dank! |
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Hallo, das ist eine Eigenschaft der Gruppen. Wir mussten das damals als eine Übungsaufgabe beweisen, dass aus den schwachen Gruppenaxiomen die herkömmlichen folgen. Siehe de.wikipedia.org/wiki/Gruppe_(Mathematik)#Schwache_Gruppenaxiome (und ich erspar mir das Tippen) Mfg Michael |
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Ah, Michaels Lösung ist auch sehr interessant. Mir ist nur nicht ganz klar, wie in unserem Falle die Menge definiert ist. |
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Hallo Michael, ich habe mir das nochmal angeschaut und bin zum Schluss gekommen, dass man dein Argument leider (!) nicht verwenden kann: Als wird man wohl sinnvollerweise die Menge aller -Matrizen nehmen, die ein Linksinverses besitzen. Und der Gewinn des Arguments soll dann darin bestehen, dass dann eine Gruppe ist, also linksinvertierbar auch rechtsinvertierbar zur Folge hat. Nun sei die Situation gegeben. Da offenbar das Linksinverse besitzt, kann ich die schwachen Gruppenaxiome nur nutzen, wenn ist, d.h. wenn selbst ein Linksinverses besitzt. Aber genau das will ich doch erst beweisen! Man dreht sich also im Kreise. Gruß ermanus |
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