Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Inverse Matrix m.H. des Gauß-Jordan-Alg. bestimmen

Inverse Matrix m.H. des Gauß-Jordan-Alg. bestimmen

Schüler

Tags: Gauß-Jordan-Verfahren, Inverse Matrix, Matrix

HiHat aktiv_icon

01:48 Uhr, 31.12.2015

Hallo Leute,

mich würde die Herleitung von folgender Aussage interesssieren:

" Man muss an einer Einheitsmatrix die gleichen Operationen vornehmen, die die Matrix A zur Einheitsmatrix machen, und die Einheitsmatrix wird zur Inversen von A."

Der Ablauf ist mir klar, dennoch kann ich mir nicht erklären, wieso die Einheitsmatrix zur Inversen von A wird.

Konnte leider keine Herleitung durch googlen finden - auch mein Lehrer sagte, dass es so ist und fertig.

Vielleicht habt ihr da die einleuchtende Erklärung :-)

Vielen dank für eure Hilfe - ich wünsche einen guten Rutsch! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

ledum aktiv_icon

14:10 Uhr, 31.12.2015

Hallo
welches GS musst du denn lösen um

A^{- 1}

zu finden?
mit

A \cdot x = {(1,0,0)}^{T}

findest du die erste Spalte von

A^{- 1}

mit

A \cdot y = (0.1.0)

findest du die zweite Spalte usw.
wie formst du dann um um

x

zu finden, jetzt machst du das mit allen 3 Spalten auf einmal.
Gruß ledum

HiHat aktiv_icon

19:17 Uhr, 04.01.2016

Hallo ledum,

sorry für die späte Rückmeldung, habe allerdings noch eine Rückfrage.

Also im Prinzip habe ich ja folgende Gleichung für eine

3 x 3

Matrix:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Nun müsste man doch die Einheitsmatrix durch die "Ausgangsmatrix" teilen, um die inverse Matrix zu erhalten, oder? Aber stattdessen wird die Ausgangsmatrix der Einheitsmatrix gleichgesetzt - verstehe ich nicht.

VG HiHat

ledum aktiv_icon

19:33 Uhr, 04.01.2016

Hallo
Durch Matrizen kann man nicht teilen, auch wenn

\frac{1}{3}

das Inverse zu 3 ist das ist es nur weil

3 \cdot \frac{1}{3} = 1

entsprechend muss man eben Inverse von Matrizen finden. Deine Gleichung ist richtig. löse mal für die erste Spalte dann siehst du. was passiert , im Prinzip willst du ja die x_ik bestimmen
Gruss ledum

HiHat aktiv_icon

20:09 Uhr, 04.01.2016

Wäre das die Gleichung für die erste Spalte? :-)

1 \cdot x_{11} + 1 \cdot x_{21} + 2 \cdot x_{31} = 1

1 \cdot x_{12} + 1 \cdot x_{22} + 2 \cdot x_{32} = 0

1 \cdot x_{13} + 1 \cdot x_{23} + 2 \cdot x_{33} = 0

Komme trotzdem nicht weiter

: (

ledum aktiv_icon

23:51 Uhr, 04.01.2016

Nein du hast

A \cdot {(x_{11}, x 21, x 31^{T} = (1,0,0))}^{T}

jetzt die

x

ausrechnen und sehen, was es mit der Spalte rechts zu tun hat
Gruß ledum

HiHat aktiv_icon

18:01 Uhr, 05.01.2016

Die x-Werte würden in dem Fall den Werten der Einheitsmatrix entsprechen - aber ich verstehe nicht, warum zuerst transponiert bzw. eine Klammer um die inverse Matrix und die Einheitsmatrix gesetzt wird.

Wäre ein möglicher Ansatz, dass man zunächst die Ausgangsmatrix mit der (noch unbekannten) inversen Matrix multipliziert? Folgende Matrix würde dann

m . E

. rauskommen:

(\begin{matrix} x_{11} + x_{21} + 2 x_{31} & x_{12} + x_{22} + 2 x_{32} & x_{13} + x_{23} + 2 x_{33} \\ 2 x_{11} + 2 x_{21} + x_{31} & 2 x_{12} + 2 x_{22} + x_{32} & 2 x_{13} + 2 x_{23} + x_{33} \\ 4 x_{11} + 3 x_{21} + 1 x_{31} & 4 x_{12} + 3 x_{22} + x_{32} & 4 x_{13} + 3 x_{23} + x_{33} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Stephan4

02:28 Uhr, 06.01.2016

A . .

. Ausgangsmatrix

E . .

. Einheitsmatrix

Eine Umformung, die Du an A vornimmst,
ist eine Multiplikation einer Matrix

U_{i}

mit A.

U_{1} \cdot A = A_{1}

U_{2} \cdot A_{1} = A_{2}

. .

U_{50} \cdot A_{49} = E

Also:

[1] (U_{50} \cdot ... \cdot (U_{2} \cdot (U_{1} \cdot A))))) = E

Parallel dazu multiplizierst Du

(U_{50} \cdot ... \cdot (U_{2} \cdot (U_{1} \cdot A)))))

und erhälst als Zusammenfassung U.

[1] U \cdot A = E

Deshalb ist

U

die Inverse von A.

:-)

HiHat aktiv_icon

18:18 Uhr, 06.01.2016

Hey Stephan,

so langsam geht bei mir ein Licht im Dunkeln auf :-)

Was ich aber nicht ganz begreife:

U_{1}

⋅

A \neq A \cdot U_{1}

d . h

. es kommt auf die "Richtung" der Multiplikation der beiden Matrizen an.

Aber sobald man die inverse Matrix

A^{- 1}

ermittelt hat, macht es offenbar keinen Unterschied:

U_{g} \cdot A = A \cdot U_{g}

Verstehst du was ich meine? :-)

Jedenfalls vielen Dank für deine gute Erklärung!

Stephan4

19:08 Uhr, 06.01.2016

So wie

U

die Inverse von A ist,
ist auch A die Inverse von

U,

also die Inverse der Inversen von A.

Das kann man auch hier nachlesen:
de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix#Gruppeneigenschaften

Zu Deiner Frage ist auch
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/inversematrix.htm
(ganz unten)

zu empfehlen.

:-)

HiHat aktiv_icon

01:26 Uhr, 09.01.2016

Danke Stephan! :-)

1281084

1279047

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?