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Inverse Matrix über F13

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Inverse Matrix, Matrizenrechnung, Rang einer Matrix, Ranguntersuchung

Nick2344 aktiv_icon

10:28 Uhr, 13.11.2017

Hallo, es geht um folgende Matrix, die ich über

F_{13}

invertieren soll. Ich lasse die Striche über den Zahlen weg. Es geht um Rechnen mit Restklassen

(\begin{matrix} 1 & 2 & 10 \\ 2 & 7 & 1 \\ 1 & 4 & 8 \end{matrix})

Erstmal will ich den Rangbestimmen über die reduzierte Zeilenstufenform:

Zeile2-2*zeile1 und zeile3-zeile1

(\begin{matrix} 1 & 2 & 10 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 2 & 9 \end{matrix})

3*zeile3-2*zeile2

(\begin{matrix} 1 & 2 & 10 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Stimmt das. Wie bekomme ich eine

1 \in a_{22}

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix

michaL aktiv_icon

12:24 Uhr, 13.11.2017

Hallo,

> Stimmt das.

Nein, in der ersten Umrechnungsmatrix (zeile3-zeile1) ergibt

8 - 10 = - 2 \equiv 11

mod 13, nicht 9.

> Wie bekomme ich eine 1∈a22?

Bestimmt habt ihr den euklidischen Algorithmus besprochen, mit dessen Hilfe man multiplikative Inverse modulo berechnen kann. Wenn du dazu noch Info suchst, hilft außer den Lehrbüchern, die der Prof. empfohlen hat, natürlich auch das Internet weiter. Stichwörter: multiplikativ Inverses modulo

Als Alternative kann man mod 13 natürlich auch probieren.

Mfg Michael

Nick2344 aktiv_icon

13:05 Uhr, 13.11.2017

Ja stimmt:

Dann wäre meine Endmatrix korrigiert:

(\begin{matrix} 1 & 2 & 10 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 6 \end{matrix})

Den euklidischen Algorithmus haben wir nicht besprochen:

Aber es muss doch gelten:

3 \cdot x = 1 mod 13

Aber zwischen

(0,1, ...,12)

gibt es keine Restklasse, die dieses erfüllt?

pwmeyer aktiv_icon

17:08 Uhr, 13.11.2017

Was ist mit

x = 9

Nick2344 aktiv_icon

18:22 Uhr, 13.11.2017

oh.......danke:-)
Ok dann geht es jetzt so weiter.
die 2. Zeile mal 9:

(\begin{matrix} 1 & 2 & 10 \\ 0 & 1 & 11 \\ 0 & 0 & 6 \end{matrix})

Dann die 1. Zeile -2*zeile2

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 11 \\ 0 & 0 & 6 \end{matrix})

Dann Zeile3 mal

11,

11

das Inverse zu 6 ist:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 11 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Dann die 3. Spalte

- 1

. Spalte

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 11 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Dann 3.Spalte

- 11 \cdot

2.spalte:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Daraus folgt die Matrix ist invertierbar, da sie vollen Rang hat:

Nick2344 aktiv_icon

18:59 Uhr, 13.11.2017

Als Inverse erhalte ich dann:

(\begin{matrix} 2 & 2 & 1 \\ 0 & 6 & 1 \\ 9 & 8 & 1 \end{matrix})

Stimmt das?

ledum aktiv_icon

11:55 Uhr, 14.11.2017

Hallo
warum machst du die Probe nicht selbst, für uns ist das dieselbe Arbeit.
Gruß ledum

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