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Inverse Substitution

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Integration

Tags: Integration, Inverse Substitution

alex-456 aktiv_icon

21:16 Uhr, 30.08.2017

Hallo zusammen während meiner Klausurvorbereitung stolper ich immer wieder über Inverse Substitution.Ich packe eine solche Aufgabe in den Anhang mit Lösungen des Professors.
Ich kann leider recht wenig damit anfangen und verstehe den zusammenhang nicht wieso plötzlich trigonometrische Funktion im spiel sind.
Ich wäre sehr froh wenn jemand eine Ausführliche Lösung mit mir erarbeitet in der die einzelnen Schritte ersichtlich sind.
Die Aufgabe lautet Berechnen Sie die Fläche eines Viertelkreises mit dem Radius

a = 2

durch Integration der Kurve

f (x) =

√(a^2-x^2)

in einem geeigneten Intervall.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

21:43 Uhr, 30.08.2017

substituiere

x = a \cdot sin (u)

bzw.

x = 2 \cdot sin (u)

Die Grenzen für

x

sind von

x = 0

bis

x = 2

Die Grenzen für

u

sind

u = 0

bis

u = \frac{π}{2}

alex-456 aktiv_icon

21:57 Uhr, 30.08.2017

Welchen Hintergrund hat es denn dass man gerade so Substituiert?

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21:57 Uhr, 30.08.2017

Welchen Hintergrund hat es denn dass man gerade so Substituiert?

anonymous

21:59 Uhr, 30.08.2017

Weil sich trigonometrische Funktionen verhältnismäßig leicht integrieren lassen.

alex-456 aktiv_icon

22:05 Uhr, 30.08.2017

Hast du Zufällig irgendeine Quelle wo man dass nochmal nachvollziehen kann?
Also hätte man die substitution auch statt mit sin mit

cos

machen können ?

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22:05 Uhr, 30.08.2017

Hast du Zufällig irgendeine Quelle wo man dass nochmal nachvollziehen kann?
Also hätte man die substitution auch statt mit sin mit

cos

machen können ?

anonymous

22:07 Uhr, 30.08.2017

Wäre auch möglich.
Ein weiterer Grund ist der "trigonometrische Pythagoras"

{sin}^{2} (u) + {cos}^{2} (u) = 1

alex-456 aktiv_icon

22:14 Uhr, 30.08.2017

Den kenne ich aber inwiefern lässt der sich denn darauf anwenden ?
Also um es hoffentlich besser zu formulieren bei der substitution wie geht man da vor um da eine Verbindung zwischen dem Integral und dem Pythagoras herzustellen.
Wie kommt man darauf.Unser Skript ist leider sehr Ausbaufähig und die Antworten zu dem Thema die ich bisher ergoogelt habe ziemlich naja

anonymous

22:21 Uhr, 30.08.2017

\int \sqrt{4 - x^{2}} d x

x = 2 \cdot sin (u) \Rightarrow d x = 2 \cdot cos (u)

\Rightarrow

\int \sqrt{4 - x^{2}} d x = \int \sqrt{4 - 4 \cdot {sin}^{2} (u)} \cdot 2 \cdot cos (u)

= \int 2 \cdot \sqrt{1 - {sin}^{2} (u)} \cdot 2 \cdot cos (u)

= \int 4 \cdot {cos}^{2} (u)

du
Das letze Integral läßt sich leicht berechnen.
( Weitere Informationen : google "trigonometrische Substitution" )

alex-456 aktiv_icon

06:31 Uhr, 31.08.2017

Vielen dank hab es jetzt glaube ich verstanden.
LG

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