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Inverse eines Zxkel

Universität / Fachhochschule

Tags: invers, permutation, Zyklen, Zyklenschreibweise

anonymous

15:56 Uhr, 01.01.2017

Aufgabe:

(A)

Zeigen Sie, dass die Inverse des Zykels

(i 1, i 2,

. . . , ir) durch (ir,ir−1,. . .

, i 2, i 1)

gegeben ist.

(B)

Zeigen Sie: Zwei elementfremde Zykel,

d . h

. Zykel σ1=

(i 1,

. . . , ir) und σ2=

(j 1,

. . . , js) mit

{i 1,

. . . , ir

}

{j 1,

. . . , js

}

= nichtleer kommutieren,

d . h

. σ1◦σ2 =σ2◦σ1

Hey
Ich komme bei diesen Aufgaben nicht weiter.
In Aufgabe A habe ich mir Gedacht einfach beides zu verknüpfen Also

(i 1, i 2,

. . . , ir) ◦(ir,ir−1,. . .

, i 2, i 1)

daraus sollte dann Vielleicht wieder

(i 1, i 2,

. . . , ir) ergeben.
Mein zykel wäre dann

(i 1, i 2, ..., i_{r})

(i_{1}, i_{2}, ... i_{r})

Ich bin mir da jedoch nicht so sicher ob wirklich der Zykel genau so raus kommt
Meine andere Überlegung war dass ich mir gedacht habe es herzuleiten jedoch bin ich mir da nicht so sicher wie genau ich es zeigen soll.
Zu Aufgabe

B

habe ich mir gedacht einfach ein Beispiel anzugeben

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

16:37 Uhr, 01.01.2017

Hallo Beame,

die angegebenen Zykel beschreiben Abbildungen, d.h. wenn man einen Zykel mit
seinem Inversen verknüpft, muss die identische Abbildung herauskommen,
das ist sozusagen der "leere Zykel"

()

, der alle Elemente der Grundmenge
festlässt.
Um Dein Problem anzugehen, solltest Du Deinen Ausgangszykel

σ = (i_{1} i_{2} \dots i_{r})

als Abbildungsvorschrift umschreiben:

σ (i_{k}) = i_{k + 1}

für

k < r

σ (i_{r}) = i_{1} .

Wenn Du das ebenso für Deinen vermutlich inversen Zykel

τ = (i_{r} i_{r - 1} \dots i_{1})

machst, kannst Du prüfen, ob

σ \circ τ = τ \circ σ = i d

ist, d.h. ob z.B. gilt

σ \circ τ (i_{k}) = i_{k}

für alle

k = 1, . . ., r

.

Gruß ermanus

P.S.: Bei (B) muss es statt "nichtleer" "leer" heißen !

anonymous

16:56 Uhr, 01.01.2017

Wie meinst du das mit der abbildungsvorschrift habe es noch nicht verstanden
Wie kommst du denn darauf und was bringt mir das denn
σ(ik)=ik+1 für

k < r,

σ(ir)=i1.
Und vielen dank für deine Antwort :-)
Lg

ermanus aktiv_icon

17:06 Uhr, 01.01.2017

Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung
einer - sagen wir mal - n-elementigen Menge

M = {1, 2, \dots, n}

auf sich.
Z.B. bedeutet doch der Zykel

σ = (347)

die Abbildung

3 \to 4, 4 \to 7, 7 \to 3

, wobei alle nicht aufgeführten
Elemente von

M

auf sich selbst abgebildet werden, also z.B.

5 \to 5

.
Die Abbildungsvorschrift, die das macht, kann ich doch schreiben als:

σ (3) = 4, σ (4) = 7, σ (7) = 3

. Für alle anderen

x

soll

σ (x) = x

sein. Das ist doch die Bedeutung(!!!) der Zykel.

anonymous

17:23 Uhr, 01.01.2017

Oh ok verstehe vielen Dank.
Wäre denn dann mein inverses zykel

σ

(i_{1}) = i_{r}

(i_{2}) =

ir-1.

. .

.
Aber was bringt es mir denn ich muss doch irgendwie auf die Identität kommen beim verknüpfen.

ermanus aktiv_icon

17:33 Uhr, 01.01.2017

Nenne Deinen inversen Zykel lieber z.B.

τ

. Dann hast Du mit

τ (i_{1}) = i_{r}

Recht. Für

k > 1

bekommst Du jedoch hoffentlich

τ (i_{k}) = i_{k - 1}

heraus
gemäß

τ = (i_{r} i_{r - 1} \dots i_{2} i_{1})

.
Jetzt berechne

(σ \circ τ) (i_{k}) = σ (τ (i_{k})) .

Am besten Du betrachtest die beiden Fälle

k = 1

und

k > 1

anonymous

18:33 Uhr, 01.01.2017

Ich bin gerade am Raumproblemen und das einzige sinnvolle bis jetzt ist
(σ∘τ)(ik)=σ(τ(ik)=σ(ik-1) und mein Problem ist halt jetzt ich sollte ja

k = 1

betrachten dann würde da doch σ(i0) stehen oder irre ich mich
Ich habe ebenfalls überlegt ob ich nicht einfach σ(ik-1) als ik+1-1 ersetzen kann aber das bringt mich auch nicht weiter
Meine anderen Überlegungen waren ebenfalls nicht erfolgreich

ermanus aktiv_icon

18:43 Uhr, 01.01.2017

Oh, leider hast Du meinen Hinweis mit den beiden Fällen

k = 1

und

k > 1

nicht konsequent getrennt(!) durchgeführt:

Fall

k = 1

(σ \circ τ) (i_{1}) = σ (τ (i_{1})) = σ (i_{r}) = i_{1}

Fall

k > 1

(σ \circ τ) (i_{k}) = σ (τ (i_{k})) = σ (i_{k - 1}) = i_{(k - 1) + 1} = i_{k}

.

Na, was hältst Du davon??

anonymous

19:27 Uhr, 01.01.2017

Oh Gott hab das mit den fällen völlig übersehen..
Vielen vielen Dnak für deine Hilfe!

anonymous

19:50 Uhr, 01.01.2017

Hätte nochmal zu Aufgabe

B

eine frage und zwar habe ich mir gedacht es mit einem Beispiel nzu zeigen aber ich glaube dies würde von der Aufgabe abweichen dann habe ich mir noch gedacht ob ich nicht vielleicht wie gerade Eben zwei fälle unterscheiden könnte ich hätte dann
( σ1 ◦ σ2)(ki) jedoch bin ich mir da nicht so sicher

ermanus aktiv_icon

20:29 Uhr, 01.01.2017

Oh, Du hast Dich abgemeldet?
Zur Aufgabe (B):
Du hast Recht, mit einem Beispiel wird man sich nicht zufrieden geben.
seien also

σ_{1}, σ_{2}

zwei "ziffernfremde" Zykeln,

σ_{1} = (i_{1} \dots i_{r}), σ_{2} = (j_{1} \dots j_{s})

.
Wir geben den zugrundeliegenden Mengen Namen:

M_{1} = {i_{1}, \dots, i_{r}}, M_{2} = {j_{1}, \dots j_{s}}

.
Nach Voraussetzung gilt

M_{1} \cap M_{2} = \emptyset

.
Wir spielen nun verschiedene Fälle durch:

Fall 1:
Sei

x \notin M_{1} \cup M_{2}

. Dann gilt

σ_{1} (x) = x

und

σ_{2} (x) = x

,
mithin:

(σ_{1} \circ σ 2) (x) = σ_{1} (σ_{2} (x)) = σ_{1} (x) = x,

analog

(σ_{2} \circ σ_{1}) (x) = x

.

Fall 2:
Sei

x \in M_{1}

. Dann gilt

σ_{1} (x) \in M_{1}

und

x \notin M_{2}, σ_{1} (x) \notin M_{2}

,
also

σ_{1} (σ_{2} (x)) = σ_{1} (x)

und

σ_{2} (σ_{1} (x)) = σ_{1} (x)

.

Fall 3:
Sei

x \in M_{2}

. Geht analog ...

Viele Grüße und ein glückliches Neues Jahr
Ermanus

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