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Inverses einer Reihe

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Ring

Sabine2 aktiv_icon

22:11 Uhr, 25.11.2013

Hallo! ;-)

Ich soll zeigen:
Sei

R

ein kommutativer Ring mit Einselement.
Zeigen Sie, dass eine Potenzreihe

p = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} t^{i}

genau dann ein multiplikatives Inverse in

R [[t]]

hat, wenn

a_{0}

eines in

R

hat.

Die Rückrichtung habe ich gezeigt. Dazu habe ich das Inverse konstuiert:

p = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} t^{i} = a_{0} \cdot (1 + \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{a_{i}}{a_{0}} t^{i}) = a_{0} \cdot (1 + r),

wobei

r := \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{a_{i}}{a_{0}} t^{i}

.
Invers zu

p

ist nun

p^{- 1} := a_{0}^{- 1} \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} ({(- 1)}^{k} \cdot r^{k})

.
Dass es invers ist, habe ich auch schon gezeigt. Gibt es also

a_{0}^{- 1},

so gibt es auch

p^{- 1}

. Damit ist die Rückrichtung gezeigt. Oder habe ich noch etwas übersehen bzw. vergessen?

Mit der Hinrichtung komme ich nicht wirklich klar. Dazu müsste ich zeigen, dass das von mir angegebene

p^{- 1}

auch wirklich das einzige Inverse ist, oder? Wie macht man das? Oder gibt es einen anderen Weg?

Viele Grüße!
Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sabine2 aktiv_icon

06:58 Uhr, 26.11.2013

Bitte helft mir :-D)
Mir fehlt einfach "nur" die Idee für die Rückrichtung.

pwmeyer aktiv_icon

08:47 Uhr, 26.11.2013

Hallo,

ich bin da nicht ganz drin, aber geht es nicht einfach darum: Wenn

a_{0} = 0

ist, also

p = a_{1} \cdot t + a_{2} \cdot t^{2} + . .

.

und

p

ein Inverses

q = b_{0} + b_{1} \cdot t + b_{2} \cdot t^{2} + ...

. hat dann gilt:

1 = p \cdot q = a_{1} \cdot b_{0} \cdot t + (a_{2} \cdot b_{0} + a_{1} \cdot b_{1}) \cdot t^{2} + ...

.

und das ist ein Widerspruch.

Gruß pwm

michaL aktiv_icon

09:13 Uhr, 26.11.2013

Hallo,

was ist die Rückrichtung?
"Wenn

a_{0}

R

invertierbar ist, dann ist

p = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} t^{i}

R [[t]]

invertierbar?

Ich glaube, deine Inverse stimmt nicht. Kann das sein?
Ich hab da eine ganz andere Formel.

Kannst du nochmal genau angeben, wo's klemmt?

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

17:35 Uhr, 26.11.2013

@michaL:
Ja, genau das ist die Rückrichtung.
Und ich bin mir ziemlich sicher, dass mein Inverses stimmt. Beachte, dass ich in meinem ersten Beitrag ersteinmal nur

p

umgeschrieben habe zu

p = a_{0} \cdot (1 + r),

wobei

r

wie oben definiert ist.

p

ist also in

R [[t]]

p^{- 1}

(auch wie oben angegeben) ist invers zu

p,

denn:

p \cdot p^{- 1} = p^{- 1} \cdot a_{0} \cdot (1 + r) = p^{- 1} \cdot a_{0} + p^{- 1} \cdot a_{0} \cdot r

.
Jetzt kann ich

p^{- 1}

wie oben definiert einsetzen und erhalte (nach kürze von

a_{0}^{- 1}

und

a_{0} :

(1 + r^{1} - r^{2} + r^{3} - ...) + (- r^{1} + r^{2} - ...) = 1

.
Das sollte also wirklich stimmen.

Klemmen tut es jetzt hier:

1 .)

Ist damit die Rückrichtung vollständig gezeigt? Unter Umständen muss man noch Wohldefiniertheit prüfen, das vergesse ich immer gerne. Da wir hier aber nicht mit Klassen rechnen, tut das aber nicht Not, oder?

2 .)

Die Hinrichtung "Wenn

p = a_{0} + a_{1} t + . .

. in

R [[t]]

ein Inverses

q

hat, dann folgt, dass

a_{0}

ein Inverses in

R

hat" fehlt mir noch komplett, habe aber dazu eine Idee, die ich jetzt mal schreibe:

Idee:
Gilt also

p \cdot q = 1, p = (a_{i}) i, q = {(b_{j})}_{j},

dann

{(a_{i})}_{i} \cdot {(b_{j})}_{j} = {(\sum_{i + j = k} a_{i} b_{j})}_{k} = 1

. Dann folgt dass

\sum_{i + j = k} a_{i} b_{j} = 0

für

k > 1

und für

k = 0

folgt

a_{0} b_{0} = 1,

denn aus

k = 0

folgt

i = 0

und

j = 0,

i, j \in ℕ

. Also muss

b_{0} = a_{0}^{- 1}

.
Was meinst du?

@pwmeyer:
Da wäre ich mir nicht so sicher. Wenn

a \neq 0

gilt, heißt dass ja nicht unbedingt, dass

a_{0}^{- 1}

existiert, da wir in einem Ring sind und nicht in einem Körper. Oder?

pwmeyer aktiv_icon

18:24 Uhr, 26.11.2013

Hallo,

ja, Du hast Recht - ich habe einfach an

ℝ [t]

gedacht. Aber Deine letzte Bemerkung trifft das, was ich eigentlich hätte sagen sollen: Notwendig für die Existenz einer Reiheninverse ist

a_{0} \cdot b_{0} = 1

Gruß pwm

michaL aktiv_icon

18:29 Uhr, 26.11.2013

Hallo,

> Und ich bin mir ziemlich sicher, dass mein Inverses stimmt.

Beweis es!

Problem ist, dass die Angabe als Potenzen von

r

angegeben sind, nicht als Potenzen der freien Variablen

t

.
Versuche, eine konkrete Angabe als Potenzreihe zu finden.

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

18:33 Uhr, 26.11.2013

r

ist doch aber eine Reihe mit Variablen

t

.
Und meinen "Metabeweis" habe ich hier doch schon reingestellt. Ich habe das alles ganz ausführlich mit Summen gemacht, und es passt wirklich. Glaub mir ;-)
Ich könnte dir das per Mail schicken, wenn du möchtest. Es hier abzutippen wäre wirklich eine Qual...

Aber die Hinrichtung ist im Moment ein wenig spannender ;-) Kann man das so machen, wie ich es oben gemacht habe?

michaL aktiv_icon

19:57 Uhr, 26.11.2013

Hallo,

also, für den beiden Reihen

p = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} t^{i}

und

q = \sum_{i = 0}^{\infty} b_{i} t^{i}

gilt doch:

p q = \sum_{i = 0}^{\infty} t^{i} (\sum_{k = 0}^{i} a_{k} b_{i - k})

Das darfst du mir glauben, oder eben nachrechnen. Mein Produkt ist nach Potenzen von

t

geordnet, was die Sache in beide Richtungen viel einfacher macht.

Ausgehend von pwmeyer finde ich:

p q = 1 \overset{}{\Leftrightarrow} b_{0} = a_{0}^{- 1}

und

\forall i \in ℕ^{*}

b_{i} = (- \sum_{k = 1}^{i} a_{k} b_{i - k}) a_{0}^{- 1}

Das ist der Schlüssel für beide Richtungen. Und der ist vergleichsweise einfach, wenn man diese Formeln hat.
Die waren aber mit deiner Art der Inversen (die ich nicht nachgerechnet hab) nicht zu bekommen (jedenfalls sehe ich nicht, wie).

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

20:06 Uhr, 26.11.2013

Ich glaube dir! Nur es ist ja immer schöner, erstmal an den eigenen Wegen festzuhalten ;-)

Kannst du mir noch einmal bitte explizit meine beiden Fragen beantworten:

1)

Stimmt MEINE Rückrichtung? (Ich weiß deine Arbeit zu schätzen, möchte aber meine Lösung nehmen, wie gesagt, einfach weil es meine ist ;-) ) Wenn

a_{0}^{- 1}

existiert, dann existiert ja auch das von mir angegebene

p^{- 1}

2)

Deine Hinrichtung (oha, das klingt ja noch schrecklicher als "Hinrichtung" alleinstehend) ist denke ich ähnlich wie meine von

17 : 35

.
Kann man das so formulieren?

Auf jeden Fall danke für eure Hilfe! Umsonst war sie nicht! ;-)

michaL aktiv_icon

22:39 Uhr, 26.11.2013

Hallo,

nun, wenn es darum geht, dass es evtl. zwei Inverse

a

und

b

von

p

gibt, so würde ja

a = 1 \cdot 1 = a \cdot (p \cdot b) = (a \cdot p) \cdot b = 1 \cdot b = b

gelten.

Ein üblicher Schluss in der Gruppentheorie, der besagt, dass in einer Gruppe ein Inverses eindeutig ist.
Die Menge der (multiplikativ) invertierbaren Elemente eines unitären Rings bildet ja selber wieder eine Gruppe, also ist der Schluss hier anwendbar.

Reicht das, damit du deinen Beweis fortsetzen kannst?

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

22:59 Uhr, 26.11.2013

Hi!
Vielleicht sollten wir das anders angehen:
Was ist in meinem Beweis von

17 : 35

(hinter "Idee:") fehlerhaft bzw. was fehlt?

michaL aktiv_icon

11:49 Uhr, 27.11.2013

Hallo,

die Idee von 17:35 ist eigentlich ok.
Für vollständig müsste ich ihn einfach mal vollständig und am Stück sehen.

Die Formel dort stimmt ja vom Ansatz her mit meiner überein. Der Rest ist auch geschmackssache.

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

17:35 Uhr, 27.11.2013

Okay, dann mache ich das so ;-)
Ich habe bei der Idee ja kein konkretes Inverses angegeben, das ist aber auch nicht notwendig, oder? ;-)

Kannst du mir dein Inverses noch einmal nennen? Ich werde zwar meins aufschreiben, aber neugierig bin ich schon ;-)

Liebe Grüße
Sabine

michaL aktiv_icon

17:55 Uhr, 27.11.2013

Hallo,

siehe dazu wiederum meinen Beitrag von gestern, 19:57 Uhr.

> also, für den beiden Reihen

p = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} t^{i}

und

q = \sum_{i = 0}^{\infty} b_{i} t^{i}

gilt doch:
>

p q = \sum_{i = 0}^{\infty} t^{i} (\sum_{k = 0}^{i} a_{k} b_{i - k})

>
> [...] Mein Produkt ist nach Potenzen von

t

geordnet, was die Sache in beide Richtungen viel einfacher macht.
>
> Ausgehend von pwmeyer finde ich:
>
>

p q = 1 \overset{}{\Leftrightarrow} b_{0} = a_{0}^{- 1}

und

\forall i \in ℕ^{*}

b_{i} = (- \sum_{k = 1}^{i} a_{k} b_{i - k}) a_{0}^{- 1}

Letzteres ist eine Rekursion, mit der man die Koeffizienten der inversen Reihe nacheinander bestimmt. (So etwas ähnliches wie bie dir um 17:35 Uhr gestern.

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

19:44 Uhr, 27.11.2013

Ah, das war das, okay ;-)
Dann müsste man ja noch prüfen, ob deins Invers ist, das stelle ich mir ziemlich nervig vor, eben weil man keine "ganze" Reihe stehen hat.

Haben wir eigentlich irgendwo die Kommutativität von

R

genutzt?

michaL aktiv_icon

19:56 Uhr, 27.11.2013

Hallo,

ich nicht.

Was das anbelangt, bedenke:

> also, für den beiden Reihen

p = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} t^{i}

und

q = \sum_{i = 0}^{\infty} b_{i} t^{i}

gilt doch:
>

p q = \sum_{i = 0}^{\infty} t^{i} (\sum_{k = 0}^{i} a_{k} b_{i - k})

Nun soll

p q = 1

gelten. Daraus folgt...?!

Mfg Michael

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