Schönen Sonntag!
Ich beschäftige mich mit Idealen und bin in der Literatur auf die folgende Aufgabe gestoßen: "Berechnen Sie im Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers die Inversen der Ideale und ."
Leider habe ich Schwierigkeiten, die angegebene Lösung nachzuvollziehen:
" ist ein Hauptidealring und es gilt , da , mit inversem Ideal ebenfalls . Das Ideal hat inverses Ideal "
Ich beginne einfach mal mit meinen Gedanken:
Das Inverse ist definiert durch Dabei ist der Quotentientenkörper des Integritätsrings .
Der Fakt, dass ein Hauptidealring ist, ist wohl zunächst relevant, damit man die angegeben Ideale zu jeweils einem Erzeuger "zusammenfassen" kann.
Wir suchen also den Erzeuger sodass gilt: und . Aus der Teilerfremdheit von und und der Multiplikativität der Norm folgt, dass . Daher wissen wir, dass und daher automatisch ?
Durch Betrachtung der Normen bei folgt analog oder . Wieso können wir den zweiten Fall dieses Mal ausschließen? Und warum folgt dann mit Ideal ?
Vielen Dank im Voraus für Hilfe. Leider bin ich noch Neuling im Bereich der Ideale.
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |