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Inverses eines Ideals

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Algebra, Erzeuger, gebrochenes Ideal, Hauptideal, Ideal, Inverses, Ring

 
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dealwithit

dealwithit aktiv_icon

16:54 Uhr, 29.03.2020

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Schönen Sonntag!

Ich beschäftige mich mit Idealen und bin in der Literatur auf die folgende Aufgabe gestoßen:
"Berechnen Sie im Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers (2) die Inversen der Ideale I=(3,1+22) und J=(7,1+22)."

Leider habe ich Schwierigkeiten, die angegebene Lösung nachzuvollziehen:

"(2) ist ein Hauptidealring und es gilt (3,1+22)=(1), da N(1+22)=-7, mit inversem Ideal ebenfalls (1). Das Ideal (7,1+22)=(1+22) hat inverses Ideal 17(1-22)."

Ich beginne einfach mal mit meinen Gedanken:

Das Inverse ist definiert durch I-1={xKxIR}.
Dabei ist K der Quotentientenkörper des Integritätsrings R.

Der Fakt, dass (2) ein Hauptidealring ist, ist wohl zunächst relevant, damit man die angegeben Ideale zu jeweils einem Erzeuger "zusammenfassen" kann.

Wir suchen also den Erzeuger x sodass gilt: fx=3 und gx=1+22.
Aus der Teilerfremdheit von N(3)=9 und N(1+22)=-7 und der Multiplikativität der Norm folgt, dass N(x)=1. Daher wissen wir, dass I=(1) und daher automatisch I-1=(1)?

Durch Betrachtung der Normen bei J folgt analog N(x)=7 oder N(x)=1.
Wieso können wir den zweiten Fall dieses Mal ausschließen?
Und warum folgt dann (7,1+22)=(1+22) mit Ideal 17(1-22)?

Vielen Dank im Voraus für Hilfe. Leider bin ich noch Neuling im Bereich der Ideale.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

17:55 Uhr, 29.03.2020

Antworten
Hallo,

bei J hast du 7=-(1-22)(1+22), also
7(1+22) und infolgedessen (7,1+22)=(1+22).
Für ein Hauptideal (α) gilt (α)-1=1N(α)(α),
wobei x+y2=x-y2 ist.
Damit ergibt sich J-1=17(1-22).

Gruß ermanus

P.S.: Das Hantieren mit Idealen braucht meist ein bisschen Übung ;-)
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