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Invertierbarkeit

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Tags: RangMatrix

 
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anonymous

anonymous

09:44 Uhr, 22.01.2022

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Hallo,
für quadratische Matrizen gilt doch, dass diese genau dann invertierbar sind wenn sie vollen Rang haben.

Wie sieht das ganze für nicht quadratische Matrizen aus? Sind diese auch invertierbar gdw. wenn sie maximalen Rang haben und warum??


Über eine Rückmeldung würde ich mich sehr freuen.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

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10:07 Uhr, 22.01.2022

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Invertierbarkeit ist nur für quadratische Matrizen definiert.

anonymous

anonymous

10:34 Uhr, 22.01.2022

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Ah okay,
Ich habe eine Matrix A Element R^(mxn), wobei m>n ist, mit A=QR. R ist dabei Element R^(nxn) und eine rechte obere Dreiecksmatrix.
Die Matrix A ht Rang (A). Wie komme ich denn nun drauf, dass R und Rt invertierbar sind??


Liebe Grüße
Antwort
DrBoogie

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11:01 Uhr, 22.01.2022

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Obere Dreiecksmatrix ist invertierbar genau dann, wenn sie keine 0 auf der Diagonale hat.
anonymous

anonymous

16:28 Uhr, 22.01.2022

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Hallo,
danke für deine Antwort. Allerdings weiß ich nicht, ob R auf der Diagonalen 0 hat oder nicht.

In meinem Skript steht "A hat maximalen Rang, also auch R, und damit sind R und Rt invertierbar".

A war Element R^mxn mit mn und R Element R ^nxn rechte obere Dreiecksmatrix.


Offensichtlich hat die Invertierbarkeit von B irgendetwas mit dem Rang A zutun, der ja maximal ist. Nur was??



Antwort
DrBoogie

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16:47 Uhr, 22.01.2022

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Wenn der Rang von R nicht maximal ist, dann kann auch der Rang von QR nicht maximal sein. Die Begründung: der Rang ist die Dimension des Bildraumes.
anonymous

anonymous

07:29 Uhr, 23.01.2022

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Hallo,

Also es gilt:

n=dim BildA +dim Kern A
n=n+0.

Dann also auch:

n=dim Bild QR +dim Kern QR
n=n+0.


Wie komme ich jetzt von dort auf nur R:

n=dim Bild. R+ dimKern R
n=2+2 gitl ja offenbar nicht, sondern nur
n=n+0.

Ist das Produkt einer Matrix, die linear abhängige Zeilen besitzt wieder eine Matrix mit der gleichen Anzahl linear abhängiger Zeilen/Spalten??
Antwort
DrBoogie

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10:31 Uhr, 23.01.2022

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Du bist auf dem Holzweg, die Dimensionsformel bringt dir nichts.
Wenn Rang von R kleiner als n ist, dann hat Bild von R die Dimension <n, also der Raum Bild(R) hat eine Basis v1,...,vk mit k<n. Dann wird aber QR durch Vektoren Qv1,...,Qvk erzeugt und damit hat die Dimension k<n, also hat QR nicht den maximalen Rang.

Frage beantwortet
anonymous

anonymous

18:31 Uhr, 24.01.2022

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Okay, danke für deine Antwort.

Ich denke, dass ich es überwiegend verstanden habe.


Liebe Grüße