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Invertiertierbare Matritzen und Abbildungsmatrix

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Matrizenrechnung

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Tags: Matrizenrechnung, Vektorraum

 
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Sekorita

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17:55 Uhr, 20.01.2019

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Guten Abend,

ich schreibe bald meine Klausur zur Linearen Alegbra I und habe eine Probeklausur bekommen. Könnte mir bitte jemand im beigefügten Foto die 1a Und die 3 erklären . Außerdem was heißt dieses (2;Q) genau ...:( Ich bedanke mich im Vorraus

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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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michaL

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19:26 Uhr, 20.01.2019

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Hallo,

> Könnte mir bitte jemand im beigefügten Foto die 1a Und die 3 erklären

Was bedeutet erklären für dich? Wie die Aufgabe zu verstehen ist?
Oder die Lösung mitteilen?

> Außerdem was heißt dieses (2;Q) genau

Allein: gar nichts.
Zusammen mit GL bedeutet es die allgemeine lineare Gruppe vom Grad 2 über .
Vgl. de.wikipedia.org/wiki/Allgemeine_lineare_Gruppe

> ich schreibe bald meine Klausur zur Linearen Alegbra I

Und dann weißt du nicht, was GL(2;) ist?
Na, dann viel Erfolg bei der Klausur.

Mfg Michael
Sekorita

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19:30 Uhr, 20.01.2019

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Dann weiß ich jetzt wenigstens was gemeint ist :-) Ich verstehe doch die a richtig, nämlich das ich nur nachweisen soll das die Matritzen invertierbar sind oder ?

Könntest du mir vlt die Aufgabe 3 erläutern ?..
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michaL

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20:44 Uhr, 20.01.2019

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Hallo,

> Ich verstehe doch die a richtig, nämlich das ich nur nachweisen soll das die Matritzen invertierbar sind oder ?

Überraschend, aber: ja, du sollst tatsächlich die Aufgabe so bearbeiten, wie sie da steht. Vielleicht hast du den Teil nach dem "d.h." nicht (gleich) gelesen?!

Ja, auch bei Aufgabe 3 sollst du tatsächlich einfach das machen, was da steht. Ich schreib's hier noch mal auf. Nur so zur Sicherheit:
"Beweisen Sie, dass es Basen BV=(v1,v2) und BVʹ=(w1,w2) von V gibt, so dass die zu f gehörige Matrix Af(BV,BVʹ)M(2×2;K) bzgl der Basen BV und BVʹ gleich (0000) oder (1000) oder (1001) ist.

Wie kann ich dir helfen? Die Aufgabenstellung zu verstehen, ist Teil der Aufgabe.

Als Tipp für die Lösung der Aufgabe kann ich dir vielleicht folgende Seite mitgeben: de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenz_(Matrix)#Aussagen_%C3%BCber_%C3%A4quivalente_Matrizen

Ja, es geht hier um den Rang der Matrix bei geeigneten Basen BV und BVʹ.
Eine Fallunterscheidung nach dem Rang ist sicherlich angesagt.

Mfg Michael
Sekorita

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21:02 Uhr, 20.01.2019

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Ok also muss ich bei a) also nur die invertierbare Matrix berechnen und zeigen das es sie gibt, bzw. Existiert.
Zu 3: Ich verstehe es dich richtig das hier Der Vektorraum V auf sich selber Abgebildet wird, also BV auf B‘_V.
Muss ich jetzt hier 2 Basen konstruieren und zeigen das die 3 aufgelisteten Matritzen möglich sind ? Wenn ja , Nullmatrix und Standardmatrix sind doch per Definition möglich oder ? Stelle mich wahrscheinlich wieder Dämlich an...
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michaL

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08:06 Uhr, 21.01.2019

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Hallo,

bei a) reicht der Nachweis der Existenz!
Du hättest eine Menge zu tun, wenn du für alle natürlich-zahligen Kombinationen (m,n) (m,n0) die Inverse des Produktes AmBn berechnen wolltest. Das könnten doch so zwei/drei zuviele für dich sein.

Ich denke, dass ihr zur Invertierbarkeit quadratischer Matrizen hinreichend Kriterien hattet?!

> Zu 3: Ich verstehe es dich richtig das hier Der Vektorraum V auf sich selber Abgebildet wird,

Ja, das erkennst du an "Endo" in Endomorphismus. Vgl. eure Vorlesung!

> also BV auf B‘_V.

Nee, das nu wieder nicht unbedingt!
BV und BVʹ sollen geeignete(!) Basen von V sein, bzgl. derer die Abbildungsmatrix von f gerade genau eine der drei angegebenen Formen hat.

> Muss ich jetzt hier 2 Basen konstruieren und zeigen das die 3 aufgelisteten Matritzen möglich sind ?

Ja. Allerdings musst du die Basen nicht explizit angeben. Ich würde auch nicht bei den Basen anfangen. Einen deutlichen Tipp hatte ich dir ja schon gegeben. Sicher hattet ihr im Zusammenhang mit äquivalenten Matrizen so ein Ergebnis, dass zwei Matrizen A und B genau dann äquivalent sind, wenn sie zur gleichen Matrix der Art (Er000000) äquivalent sind. Dabei ist Er die Einheitsmatrix der Größe r und r der Rang (dann) beider Matrizen.
Schau mal nach, hattet ihr sicher.
Und wie es der Zufall will, sind alle drei Matrizen von genau diesem Typ:
Die Nullmatrix entspricht r=0, die Einheitsmatrix r=2 und die verbleibende Matrix gerade r=1.

> Wenn ja , Nullmatrix und Standardmatrix sind doch per Definition möglich oder ?

Nun, was auch immer für dich "per Definition" heißt...

> Stelle mich wahrscheinlich wieder Dämlich an...

Ein bisschen schon, scheint aber in den letzten Jahren durchaus normal geworden zu sein.

Mfg Michael
Sekorita

Sekorita aktiv_icon

08:37 Uhr, 21.01.2019

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Hey, zu a: Ja Kriterien hatten wir und Aufgabe ist auch jetzt gelöst, schonmal danke dafür.

zu b: Leider hatten wir Äquivalente Matritzen noch nicht definiert, kommt erst diese Woche, unser Dozent hat gesagt, dass das notwendig sein würde für die Probeklausur aber er jetzt eine Zeit dafür hat ( Stand letzte Woche). Wie würde ein formal richtiger Beweis jetzt aussehen?
Und nur so generell: Ich verstehe es dch richtig, das die 3möglichen angegebenen Matritzen mögliche Bilder der Abbildung der Basen V und B´_V sind oder? Sry für die "dummen" Fragen :(

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michaL

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20:14 Uhr, 21.01.2019

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Hallo,

nun, vielleicht mal Basic:
Sei A die darstellende Matrix von f bzgl der Standardbasis E, d.h. f(x)=Ax für alle xV.

Sei dann r:=rang(A) (=rang(f), denn es stellt sich heraus, dass der Rang der darstellenden Matrix NICHT von der zugehörigen Basis abhängt).

Fall 1: r=0, d.h. es gilt f(x)=0 für alle xV. Dann kann man BV und BVʹ beliebig wählen, denn die darstellende Matrix ist dann immer die Nullmatrix (die linke).

Fall 2: r=2, d.h. jedes Element xV wird durch f als Bild angenommen, d.h. seien w1,w2V beliebig und passend dazu v1,v2V so, dass f(vi)=wi (i=1,2).
Klar, dass v1,v2 linear unabhängig sind, denn: λv1+μv2=0 sei vorgegeben, dann f anwenden. Das ergibt (f linear): λw1+μw2=0.
Da w1,w2 als linear unabhängig gewählt worden waren, folgt λ=μ=0, was bedeutet, dass v1,v2 linear unabhängig sind.

Bzgl. BV:=(v1,v2), BVʹ:=(w1,w2) hat f aber gerade die Darstellungsmatrix 3 (also die rechte). Denn: f(λv1+μv2)=λw1+μw2 per def.

Noch Fall 3: r=1, d.h. es gelten dim(ker(f))=1 und dim(Im(f))=1, es gibt also einen Vektor v20, sodass ker(f)=v2. (Damit ist die lineare Hülle gemeint.)
Insbesondere gilt f(v2)=0.
Außerdem gibt es einen Vektor w1, sodass Im(f)=w1. Dann muss es aber ein v1V geben mit f(v1)=w1. (Insbesondere kann nicht w1=0 gelten.)
Klar ist, dass v1,v2 linear unabhängig sein müssen.
Um noch w2 passend zu w1 zu finden, muss ein zu/von w1 linear unabhängiger Vektor w2 gewählt werden.
Damit hat die darstellende Matrix genau die mittlere Form, da f(λv1+μv2)=λv1+μ0.

Mfg Michael

PS: Wenn dir der Beweis nicht klar ist, dann fehlt dir vermutlich das Wissen über darstellende Matrizen.


EDIT: Indizes korrigiert
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.