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Irrationale Folge soll gegen 2 gehen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Irrationale Zahlen, Konvergenz, Schrank, Zahlenfolgen

gotnoidea aktiv_icon

18:12 Uhr, 14.11.2014

Hallo,

ich will zeigen, dass

s_{o} = 2

hier eine obere Schranke und die kleinste obere Schranke, also das Supremum, von der Menge

M

ist.

Sei

M = {x \in ℝ : x \leq 2 \land x \notin ℚ}

(Menge der irrationalen Zahlen kleiner

2)

Nach

x \leq s_{o} \forall x \in M

mit

s_{o} = 2 \Rightarrow x \leq 2 \forall x \in M

Das gilt nach Definition von M. Damit ist 2 obere Schranke von M.

Jetzt will ich die Supremumseigenschaft von

s_{o} = 2

zeigen. Hier muss gelten

s_{o} \leq s \forall s \in ℝ

mit

x \geq s

.
Ich wurde schon darauf hingewiesen, eine Folge als

a_{n}

mit

\sqrt{2}

zu multiplizieren und

a_{n}

so zu wählen, dass die gesamte Folge gegen 2 konvergiert.

Sei

q_{n}

eine rationale Zahlenfolge mit folgender Bildungsvorschrift:

a_{n + 1} = \frac{1}{2} \cdot (a_{n} + \frac{2}{a_{n}})

konvergiert gegen

\sqrt{2}

a_{n} \cdot \sqrt{2}

ist dementsprechend irrational. Da

lim_{n \to \infty} a_{n} = \sqrt{2}

ist

lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot \sqrt{2} = 2

oder sehe ich das falsch?

Mein Taschenrechner sagt etwas anderes.. Würde das als Beweis überhaupt schon reichen?

Lieber Gruß und Danke

DrBoogie aktiv_icon

21:02 Uhr, 14.11.2014

"ist dementsprechend irrational"

Wem entsprechend?
Eine Aussage über den Grenzwert liefert sehr wenig Infos über die Folge selber.
Aus

a_{n} \to \sqrt{2}

folgt z.B. keinesfalls, dass

a_{n}

irrational ist. Sie können alle rational sein. Oder alle irrational. Wie gesagt - sehr wenig Infos.
Und für Deine Zwecke reicht einfach die Folge

a_{n} = 2 - \frac{\sqrt{2}}{n}

, diese Zahlen sind alle garantiert irrational und

a_{n} \to 2

ist auch offensichtlich.

gotnoidea aktiv_icon

21:50 Uhr, 14.11.2014

Ich habe doch vorausgesetzt, dass

a_{n}

rational ist. Das ist angesichts der Definition von

a_{n}

ja offensichtlich zu sehen. Und nach dem Satz, der besagt, dass eine rationale Zahl

(a_{n})

multipliziert mit einer irrationalen Zahl

(\sqrt{2})

wieder eine irrationale ergibt.

Danke..die Folge macht es mir wirklich leichter.. Muss ich nun, um den Beweis für die Supremumseigenschaft zu erbringen, formal beweisen (mit

ε -

Umgebung), dass

a_{n} \cdot \sqrt{2}

gegen 2 geht?

Gruß und danke

DrBoogie aktiv_icon

22:30 Uhr, 14.11.2014

Ich glaube nicht, das man so was formal beweisen muss. Aber ich weiß nicht, was genau bei Euch gefordert wird.

ledum aktiv_icon

00:36 Uhr, 15.11.2014

Hallo
1-warum ist deine Folge, unabhängig von

a_{0}

rational?
2. gehürt dann zum Bewis noch dazu, dass deine

a_{n}

gegen

\sqrt{2}

konvergieren.
3. dass

a_{n}

monoton wachsend ist.
Gruß ledum

gotnoidea aktiv_icon

02:00 Uhr, 15.11.2014

Stimmt...das ist peinlich..irrationale Startwerte

a_{0}

erzeugen selbstverständlich eine irrationale Folge. Danke für das Anbringen dieses Beispiels. Und vor allem durch deinen
3. Punkt wird der Beweis für mich erst richtig verständlich und konsistent. Ich setze mich gleich heute vormittag ran. Vielen Dank erstmal, habt beide sehr geholfen.

Freundliche Grüße

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