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Irrationale Zahlen

Universität / Fachhochschule

Tags: Bruch, Irrationale Zahlen, Quadratwurzel

Zoe-cm aktiv_icon

19:47 Uhr, 31.05.2020

Geben Sie einen Bruch an, der sich von √3 um weniger als 10^−4 unterscheidet.

(Fragen in dieser Art können in meinem nächsten Test vorkommen und ich weiß nicht wirklich wie ich das angehen soll)
Danke im voraus

> . <

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definitionsbereich der Wurzel angeben
Nenner rational machen
Teilweise Wurzelziehen
Wurzelgesetze
Wurzelterm vereinfachen

DrBoogie aktiv_icon

21:59 Uhr, 31.05.2020

\sqrt{3} = 1.732025 . . . .

, damit kann man einfach

1.732 = \frac{1732}{1000}

nehmen.

JaBaa aktiv_icon

22:37 Uhr, 31.05.2020

Ich probiere hier mal eine Lösung mit einer Intervallschachtelung ( geht bestimmt leicher aber mir fällt nix besseres ein).

Also du willst

\sqrt{3}

mit einer rationalen Zahl approximieren und du weißt:

1 = 1^{2} < 3 < 2^{2} = 4 \to 1 < \sqrt{3} < 2

damit liegt

\sqrt{3}

im Intervall

P_{1} = [1,2]

.

Jetzt nimmst du die Mitte vom Intervall und schaust ob sie unter oder über

\sqrt{3}

liegt.

Dazu quadrierst du die Mitte vom Intervall und schaust ob diese über oder unter 3 liegt

Also

M =

intervallmitte

Q =

Quadrierte Intervallmitte

M_{1} = \frac{3}{2}, Q_{1} = \frac{9}{4}

\frac{9}{4} < 3

dadurch können wir nun ein neues Intervall wählen weil wir wissen

\frac{3}{2} < \sqrt{3}

Damit haben wir wieder ein neues Intervall

P_{2} = [\frac{3}{2}, 2]

worin

\sqrt{3}

enthalten ist

Dann wiederholst du das verfahren also folgendermaßen:

M_{2} = \frac{7}{4}, Q_{2} = \frac{49}{16}

man sieht

3 < \frac{49}{16} \to \sqrt{3} < \frac{7}{4} \to

P_{3} = [\frac{3}{2}, \frac{7}{4}]

M_{3} = \frac{\frac{3}{2} + \frac{7}{4}}{2} = \frac{13}{8}, Q_{3} = \frac{169}{64} < 3 \to

\frac{13}{8} < \sqrt{3} \to P_{4} = [\frac{13}{8}, \frac{7}{4}]

M_{4} = \frac{\frac{13}{8} + \frac{7}{4}}{2} = \frac{27}{16} Q_{4} = \frac{729}{256} < 3 \to

\frac{27}{16} < \sqrt{3} \to P_{5} = [\frac{27}{16}, \frac{7}{4}]

M_{6} = \frac{\frac{27}{16} + \frac{7}{4}}{2} = \frac{55}{32} Q_{6} = \frac{3025}{1024} < 3 \to

\frac{55}{32} < \sqrt{3} \to P_{7} = [\frac{55}{32}, \frac{7}{4}]

M_{7} = \frac{\frac{55}{32} + \frac{7}{4}}{2} = \frac{111}{64}, Q_{7} = \frac{12321}{4096} > 3 \to

\frac{111}{64} > \sqrt{3} \to P_{8} = [\frac{55}{32}, \frac{111}{64}]

So wenn ich keinen fehler gemacht habe müsste

M_{7} = \frac{111}{64}

schon sehr nahe an

\sqrt{3}

rankommen

Viele Grüße

JaBaa aktiv_icon

22:43 Uhr, 31.05.2020

Wenn du ungefähr weißt wo auf dem Zahlenstrahl deine zu approximierende Zahl liegt dann kannst du die Intervallgrenzen vom Anfang näher beieinander nehmen und sparst eventuell ein Paar schritte bei der Rechnung.

anonymous

23:03 Uhr, 31.05.2020

. .

. oder:
Du nimmst irgend so ein elektronisches Hilfsmittel (Taschenrechner, Computer vor dem du gerade sitzt,

...),

vielleicht ein Tabellenkalkulationsprogramm, und setzt:

m =

natürliche Zahlen, also

1, 2, 3, 4, 5, . .

n = \sqrt{3} \cdot m

p =

runden(n)

\frac{p}{m}

ist dann ein Bruch, der so ungefähr den Wert

\sqrt{3}

hat.
Je weniger du runden musstest, desto genauer...
Ruck zuck fallen da einem so ein paar Kandidaten ins Auge:

m = 41; 56; 153; 209; . .

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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