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Irrationale Zahlen im offenem Intervall
Universität / Fachhochschule
Tags: Intervall, Irrationale Zahlen
 
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Hallo zusammen, ist mein erster Beitrag hier, ich hoffe ich halte mich soweit an die Regeln. Für eine Übungsaufgabe muss ich folgendes beweisen: "Beweisen Sie, dass in jedem enen Intervall eine irrationale Zahl liegt." Nun würde ich doch mal so frei sein zu behaupten, dass diese Behauptung falsch ist. Angenommen man setzt dann wäre das Intervall ja leer, womit keine irrationale Zahl drin liegt. (Da die leere Menge Teilmenge einer jeden Menge ist, liegt das Intervall immer noch in . Ist dieser Ansatz so richtig? Vielen Dank Edit: Einmal angenommen, und seien ungleich. Könnte ich folgendermaßen argumentieren: Wir betrachten das Intervall einmal als Teilmenge von und einmal als Teilmenge von R. Da dicht in liegt, sind beide Intervalle nicht leer. Das Teilintervall ist im Gegensatz zu überabzählbar, hat also eine größere Mächtigkeit. Daraus folgt, dass sich nicht zu jedem Element aus dem R-Intervall ein entsprechendes aus dem anderen finden lässt. Diese Elemente sind also nicht Teil von folglich sind sie irrationale Zahlen. Ist das so stichhaltig? Möchte euch nicht zu spamen, bin mir aber nur so unsicher. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, also deine Idee mit dem leeren Intervall ist ja gut, aber ich fürchte, dass Intervalle per Definition nicht leer sein dürfen :-) Ansonsten hättest du natürlich Recht... Aber der Fall ist sowieso interessanter. Deine Idee ist auch ganz gut, aber an einigen Stellen etwas undeutlich und hat auch einen kleinen Fehler. Wenn du also das Intervall betrachtest mit , dann kannst du nicht als Teilmenge von betrachten (denn du willst ja gerade zeigen, dass das nicht der Fall sein kann). Stattdessen müsstest du hier wohl verwenden. Nun ist dicht in , dann solltest du an dieser Stelle allerdings etwas genauer argumentieren, warum eine rationale Zahl in liegt und somit (nur der Hinweis auf die Dichte von in wäre mir persönlich zu wenig). Hier muss man eventuell auch eine Fallunterscheidung machen, wenn oder ist. Auch der Hinweis mit der Mächtigkeit ist richtig, reicht aber allein nicht aus (bei einer solchen Aufgabenstellung würde man vlt erwarten, dass man eine irrationale Zahl konstruiert, es geht aber auch anders und das muss man deutlich machen). Du kannst nämlich eine Funktion betrachten. Nun sagt ja die Nicht-Gleichmächtigkeit aus, dass es keine bijektive Funktion geben kann. Ich schlage daher vor, eine injektive Funktion zu wählen (welche fällt dir da ein?), diese kann dann nämlich nicht surjektiv sein. Lieben Gruß Sina |
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Hallo Sina, vielen, vielen Dank für deine Antwort. Gerade bei der Rigidität von Beweisen habe ich häufig Probleme. Schön, dass du da so genau bist. Ich würde sagen, ich nehme die Funktion die jedes auf sich selber abbildet, also . Was die Fallunterscheidung betrifft: Angenommen (damit sollte ja der Fall unendlich ausgeschlossen sein). Es gilt und die Dichtheit besagt ja, dass für jedes ein existiert, für dass gilt: womit ja die Bedingung für das Intervall erfüllt wäre. Und für den zweiten Fall, dass oder gegen unendlich gehen, lässt sich doch leicht eine oder zwei Zahlen finden, die in I sind, worauf man ja wieder obiges anwenden könnte. (Möchte hier jetzt nicht alles aufschreiben) Wäre das so ok? Ich weiß, man kann wikipedia nicht vollständig trauen, aber im Artikel über Intervalle steht dort: "Triviale Beispiele von Intervallen sind die leere Menge und Mengen, die genau ein Element besitzen." Das hat mich überhaupt erst auf die Idee gebracht. |
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Guten Morgen, genau die Funktion hätte ich auch gewählt :-) Allerdings muss es heißen ... Dann ist nämlich (und das ist essentiell) . Da injektiv ist, ist nicht surjektiv und somit , oder auch . Das wäre ja zu zeigen. Zu deiner Anwendung der Dichte: Alles richtig argumentiert... Bei der Fallunterscheidung würde ich zunächst den Fall , ausschließen, denn dann ist und ich hoffe es ist bekannt, dass eine irrationale Zahl ist, denn dann gilt auf jeden Fall . Ansonsten verwendet man oder so. Wichtig ist hier, dass du eine irrationale Zahl konstruierst! Den Fall und würde ich mithilfe des Satzes des Archimedes bearbeiten (vlt auch bekannt als archimedisches Axiom). Der Fall geht dann analog. Zu deinem P.S.: Gut, dass du Wikipedia nicht vertraust :-) Denn ausschlaggebend ist, wie ihr Intervalle in der VL definiert habt. Das kann sich durchaus von der Definition auf Wikipedia unterscheiden, auch wenn Wikipedia den Eindruck macht, die Definitionen wären eindeutig. Du kannst es ja mal einfach versuchen und schreiben, dass das leere Intervall keine irrationale Zahl enthält, ob sich dein Prof./Übungsleiter auf die Argumentation dann aber einlässt, bezweifle ich mal ;-) Ich würde es einfach in einem Satz vorher erwähnen und dann sagen, "naja, das wäre aber langweilig, also gehen wir mal davon aus, dass ist"... Kommt immer gut ;-) Lieben Gruß Sina |
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Danke Sina! Du hast mir sehr geholfen. Die Aufgabe kann ich jetzt glaube ich lösen. Gruß Susy |
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