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Irrationale Zahlen und ganzzahlige Brüche
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Elementare Zahlentheorie
Tags: Elementare Zahlentheorie, Irrationale Zahlen, Rationale Zahlen, Sonstig
 
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Guten Tag! Ich bin in letzter Zeit bei unterschiedlichsten Beweisen auf folgende Annahme(n) gestoßen: "Eine Zahl mit endlichem Nachkommateil oder sich periodisch wiederholenden unendlichen Nachkommateil, sind als Bruch zweier ganzen Zahlen zu schreiben. (also sind rationale Zahlen" Bzw. "Eine unendliche Zahl ohne Periodizität im Nachkommateil ist eine irrationale Zahl, also nicht als ganzzahliger Bruch darzustellen." Klingt logisch und ich hatte mich schon fast daran gewöhnt, es einfach zu akzeptieren, aber irgendie nervt es mich jetzt doch... Hat jemand für die beiden Sätze einen schönen Beweis? Wenns geht nicht allzu kompliziert, denn ich bin als Informatiker eher Hobby-Mathematiker. LG und danke im Voraus! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Steht hier (auf Englisch): en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal#Every_rational_number_is_either_a_terminating_or_repeating_decimal |
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Und falls du genauere Informationen zur Periodenlänge der Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl haben willst: Ist mit teilerfremden (d.h. vollständig gekürzt), dann gilt gemäß Primfaktorzerlegung mit sowie mit 1) Im Fall ist die Dezimaldarstellung endlich, bzw. man kann auch sagen "mit Nullenperiode". 2) Im Fall ist sie periodisch mit einer kleinsten Periode , die Teiler ist von ( -> Eulersche Phi-Funktion). Es gilt sogar die Aussage, dass ein Teiler von ist ( -> Carmichael-Funktion), das macht bei mit stark zerklüfteter Primfaktorzerlegung nochmal einen ziemlichen Gewinn. Beispiel: mit , dann ist die kleinste Periode von ein Teiler von . Mit Carmichael-Funktion ergibt sich sogar, dass sie ein Teiler von ist. Tatsächlich gilt sogar , d.h. Periode . |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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