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Irrationalitätsbeweis

Schüler

Tags: Irrationalitätsbeweis

Sun-Fun aktiv_icon

15:08 Uhr, 23.11.2010

Wie funktioniert der Irrationalitätsbeweis????????
Ist er bei allen Zahlen gleich?????????????
Bei Wurzel 2 hab ich ihn schon verstanden mehr aber auch nicht:-)

Wurzel aus

2 = \frac{p}{q}

2 = \frac{p^{2}}{q^{2}}

2 \cdot p^{2} = q^{2}

daher ist

q

durch 2 teilbar, genau wie

p

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

hagman aktiv_icon

15:19 Uhr, 23.11.2010

Nein, der Irrationalitätsbeweis ist letzlich für jede irrationale Zahl anders (was übrigens problematisch ist, da es mehr irrationale Zahlen als Beweise gibt).
Allerdings ist der Beweis der Irrationalität von

\sqrt{n}

(wenn

n

nicht ausgerechnet eine Quadratzahl ist) immer ähnlich und basiert auf der Primfaktorzerlegung:

Wenn

\sqrt{n} = \frac{a}{b},

dann seien

a = 2^{a_{2}} \cdot 3^{a_{3}} \cdot 5^{a_{5}} \cdot 7^{a_{7}} \cdot . .

b = 2^{b_{2}} \cdot 3^{b_{3}} \cdot 5^{b_{5}} \cdot 7^{b_{7}} \cdot . .

n = 2^{n_{2}} \cdot 3^{n_{3}} \cdot 5^{n_{5}} \cdot 7^{n_{7}} \cdot . .

.
die jeweiligen eindeutigen Primfaktorzerlegungen mit

a_{p}, b_{p}, n_{p} \in ℕ_{0}

.
Es folgt

n = \frac{a^{2}}{b^{2}},

also

a^{2} = n \cdot b^{2}

.
Für die Primfaktorzerlegungen bedeutet dies (wegen deren Eindeutigkeit)

2 \cdot a_{p} = n_{p} + 2 \cdot b_{p}

für alle Primzahlen

p

.
Es folgt, dass

n_{p}

gerade ist, also jeweils

n_{p} = 2 \cdot m_{p}

mit

m_{p} \in ℕ_{0}

.
Setzt man

m = 2^{m_{2}} \cdot 3^{m_{3}} \cdot 5^{m_{5}} \cdot 7^{m_{7}} \cdot . .

. , so folgt

n = m^{2}, d . h

n

ist eine Quadratzahl.

Im Fall

n = 2

kann man anstelle der allgemeinen Primfaktorzerlegung vereinfacht mit gerade/ungerade argumentieren.

Die Irrationalität von höheren Wurzel geht ganz analog

u

oben.
Daneben gibt es natürlich noch ganz viele andere irrationale Zahlen, die keine Wurzeln sind

. .

Sun-Fun aktiv_icon

15:37 Uhr, 23.11.2010

Ich bin erst in der 8. Klasse und hab gerade gar nichts verstanden:-)

Wie komme ich denn auf die anderen Irrationalitätsbeweise für andere Zahlen???????

(Trotzdem schon mal DANKE für deine Hilfe)

hagman aktiv_icon

17:08 Uhr, 23.11.2010

Oh, die Klassenstufe hatte ich übersehen.
Aber in der 8. Klassenstufe musst du auch nicht beweisen können, dass beispielsweise

π

irrational ist :-)

Sun-Fun aktiv_icon

17:18 Uhr, 23.11.2010

Mein Mathelehrer meinte aber,dass das in der Arbeit vor kommen könnte, also lerne ich das lieber:-)

also

z . B

. von Wurzel

10

ist das dann genau so wie bei wurzel 2???????

Wie komme ich dann auf die ganzen variablen wie bei wurzel 2
was ist dann der unterschied?

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