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Irrationalitätsbeweis

Universität / Fachhochschule

Tags: Irrationalität, log

 
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19ma95

19ma95 aktiv_icon

19:12 Uhr, 12.06.2019

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Hallo!

Ich sitze gerade an einem fertigen Irrationalitätsbeweis, kann aber einfach eine Umformung nicht nachvollziehen.

Und zwar: Seien b 2 und l 1 ganze Zahlen , dann ist logb(bl-1) irrational.

Beweis: Wir wissen, dass logb(bl-1) 0. Angenommen logb(bl-1)=pq mit p,q . Daraus folgt (bl+1)q=bq.

Soweit ist das klar, aber daraus folgt 0 1 (mod b). Da b 2 und p,q ergibt dies den Widerspruch.

Wie komme ich auf die Kongruenz und warum ergibt dies den Widerspruch?


Danke für die Hilfe. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

19:28 Uhr, 12.06.2019

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Hallo,

oiweh, wieder Lücken bei den Mathekenntnissen...

Die Gleichung logb(x)=c ist äquivalent zu bc=x.
Das musst du dir klar machen. Wenn du das hast, ist das weitere ein Kinderspiel.

BTW, es müsste bp=(bl-1)q heißen.

Mfg Michael
19ma95

19ma95 aktiv_icon

23:32 Uhr, 12.06.2019

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Aber diesen Schritt habe ich doch verstanden, ich verstehe die Kongruenz 0 1 (mod b) nicht? Oder muss ich den Logarithmus erneut auf die entstandene Gleichung anwenden?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

08:24 Uhr, 13.06.2019

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Hallo,

nun, betrachte die Gleichung bp=(bl-1)q mod b.
Daraus ergibt sich 0(-1)q mod b. Quadriert also in jedem Fall 01 mod b.

Mfg Michael
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

08:48 Uhr, 13.06.2019

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Angesichts der Nachfragen sollte vielleicht zunächst geklärt werden, ob 19ma95 überhaupt schon mal irgendwas von Modulorechnung gehört hat. Ansonsten muss man wohl auf Erklärungen ausweichen, die dasselbe "per Hand" nachvollziehen, etwas über das Ausmultiplizieren von (bl-1)q per Binomischen Satz und dann Betrachtung der Teilbarkeit durch b.

19ma95

19ma95 aktiv_icon

11:33 Uhr, 13.06.2019

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Danke, ich denke, ich hab es nun doch verstanden. Modulorechnung kenne ich.
Aber ich dachte, dass ich beweisen müsste, dass (bl+1)q1(mod b) ist. Logisch ist es, da bl+11 (mod b) ist und damit auch das ganze hoch q. Das alleine dachte ich aber nicht, dass reicht.
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

11:44 Uhr, 13.06.2019

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> Modulorechnung kenne ich.

Anscheinend nicht gut genug, wenn du derart grundlegende Rechnungen in Zweifel ziehst: Aus uvmodb folgt uqvqmodb, das gilt auch für u=bl-1 und v=-1.

Und dass das so entstehende 01modb im Fall b2 einen Widerspruch darstellt, sollte doch nun wirklich einsichtig sein: Schließlich bedeutet das laut Definition b(1-0), also b1, was für b2 natürlich Unsinn ist.