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Irrationalitätsbeweis

Universität / Fachhochschule

Tags: Irrationalität, log

19ma95 aktiv_icon

19:12 Uhr, 12.06.2019

Hallo!

Ich sitze gerade an einem fertigen Irrationalitätsbeweis, kann aber einfach eine Umformung nicht nachvollziehen.

Und zwar: Seien b

\geq

2 und l

\geq

1 ganze Zahlen , dann ist

l o g_{b} (b^{l} - 1)

irrational.

Beweis: Wir wissen, dass

l o g_{b} (b^{l} - 1)

\geq

0. Angenommen

l o g_{b} (b^{l} - 1) = \frac{p}{q}

mit p,q

\in ℕ

. Daraus folgt

(b^{l} + 1)^{q} = b^{q} .

Soweit ist das klar, aber daraus folgt 0

\equiv

1 (mod b). Da b

\geq

2 und p,q

\in ℕ

ergibt dies den Widerspruch.

Wie komme ich auf die Kongruenz und warum ergibt dies den Widerspruch?

Danke für die Hilfe. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

19:28 Uhr, 12.06.2019

Hallo,

oiweh, wieder Lücken bei den Mathekenntnissen...

Die Gleichung

\log_{b} (x) = c

ist äquivalent zu

b^{c} = x

.
Das musst du dir klar machen. Wenn du das hast, ist das weitere ein Kinderspiel.

BTW, es müsste

b^{p} = (b^{l} - 1)^{q}

heißen.

Mfg Michael

19ma95 aktiv_icon

23:32 Uhr, 12.06.2019

Aber diesen Schritt habe ich doch verstanden, ich verstehe die Kongruenz 0

\equiv

1 (mod b) nicht? Oder muss ich den Logarithmus erneut auf die entstandene Gleichung anwenden?

michaL aktiv_icon

08:24 Uhr, 13.06.2019

Hallo,

nun, betrachte die Gleichung

b^{p} = (b^{l} - 1)^{q}

mod

b

.
Daraus ergibt sich

0 \equiv (- 1)^{q}

mod

b

. Quadriert also in jedem Fall

0 \equiv 1

mod

b

.

Mfg Michael

HAL9000

08:48 Uhr, 13.06.2019

Angesichts der Nachfragen sollte vielleicht zunächst geklärt werden, ob 19ma95 überhaupt schon mal irgendwas von Modulorechnung gehört hat. Ansonsten muss man wohl auf Erklärungen ausweichen, die dasselbe "per Hand" nachvollziehen, etwas über das Ausmultiplizieren von

{(b^{l} - 1)}^{q}

per Binomischen Satz und dann Betrachtung der Teilbarkeit durch

b

19ma95 aktiv_icon

11:33 Uhr, 13.06.2019

Danke, ich denke, ich hab es nun doch verstanden. Modulorechnung kenne ich.
Aber ich dachte, dass ich beweisen müsste, dass

(b^{l} + 1)^{q} \equiv 1

(mod b) ist. Logisch ist es, da

b^{l} + 1 \equiv 1

(mod b) ist und damit auch das ganze hoch q. Das alleine dachte ich aber nicht, dass reicht.

HAL9000

11:44 Uhr, 13.06.2019

> Modulorechnung kenne ich.

Anscheinend nicht gut genug, wenn du derart grundlegende Rechnungen in Zweifel ziehst: Aus

u \equiv v mod b

folgt

u^{q} \equiv v^{q} mod b

, das gilt auch für

u = b^{l} - 1

und

v = - 1

.

Und dass das so entstehende

0 \equiv 1 mod b

im Fall

b \geq 2

einen Widerspruch darstellt, sollte doch nun wirklich einsichtig sein: Schließlich bedeutet das laut Definition

b ∣ (1 - 0)

, also

b ∣ 1

, was für

b \geq 2

natürlich Unsinn ist.

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