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Irreduzibler Potenzreihenring

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Integritätsbereich, irreduzibel, Potenzreihenring, Ring, unzerlegbar

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17:10 Uhr, 07.05.2018

Ich beschäftige mit gerade mit Potenzreihenringen und verstehe nicht, wieso folgende Aussage gilt:

Sei

F = \sum_{i \geq 0}

\cdot X^{i} \in R [[X]]

R

Integritätsbereich,

a 0

irreduzibel

\Rightarrow F

irreduzibel

Könnte mir das bitte jemand erklären/beweisen?
Danke :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

18:17 Uhr, 07.05.2018

Hallo,

dazu muss man wissen, was die Einheiten in formalen Potenzreihenringen sind.
Weißt du das?

Mfg Michael

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09:04 Uhr, 08.05.2018

Es gilt:

F \in R {[[X]]}^{x} \Leftrightarrow a 0 \in R^{x}

Ich kann mir allerdings den Zusammenhang gerade nicht erschließen.

michaL aktiv_icon

09:49 Uhr, 08.05.2018

Hallo,

korrekt.

> Ich kann mir allerdings den Zusammenhang gerade nicht erschließen.

Nun, ein Element

p

ist ja nun genau dann irreduzibel, wenn für jedes Produkt

p = a b

gilt:

a \sim 1 \lor b \sim 1

Bekommst du nun einen Zusammenhang und vielleicht sogar eine Idee für einen Beweis?

Mfg Michael

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16:50 Uhr, 08.05.2018

Okay, wenn nun also

a 0

irreduzibel ist, dann müsste ich ein Produkt erzeugen mit

a 0

als Faktor. Dann könnte ich das aus der Aussage über die Einheit benutzten? Bin mir gerade noch unsicher..

michaL aktiv_icon

17:46 Uhr, 08.05.2018

Hallo,

ok, beginnen wir wieder mit Formalismus. Du sollst zeigen:
Für

F := \sum_{i \geq 0} a_{i} X^{i} \in R [[X]]

gilt:

F

irreduzibel in

R [[X]] \overset{}{\Leftrightarrow} a_{0}

irreduzibel in

R

.

So, nun solltest du dir eine der beiden Richtungen "

\Rightarrow

" oder "

\Leftarrow

" aussuchen.
Bedenke, dass die obige Aussage äquivalent ist zu

F

reduzibel

\overset{}{\Leftrightarrow} a_{0}

reduzibel.

Ich würde die Äquivalenz also in zwei Schritten beweisen:
"

\Leftarrow

": Sei

F

reduzibel

\Rightarrow

a_{0}

reduzibel. (Geht recht einfach.)

"

\Rightarrow

": Sei

F

irreduzibel

\Rightarrow

a_{0}

irreduzibel. (Vielleicht auch anders herum, sehen wir mal.)

Beginne erst einmal mit dem oberen, dann manchen wir danach den zweiten Schritt.

Mfg Michael

mathteacher aktiv_icon

18:06 Uhr, 08.05.2018

Hallo, danke für deine Antwort.

Zunächst eine Nachfrage: Du sagtest "Bedenke, dass die obige Aussage äquivalent ist zu

F

reduzibel ⇔a0 reduzibel." und dann:
""⇐": Sei

F

reduzibel ⇒

a 0

reduzibel. (Geht recht einfach.)

"⇒": Sei

F

irreduzibel ⇒

a 0

irreduzibel. (Vielleicht auch anders herum, sehen wir mal.)"

Da steht doch dann gerade das gleiche, oder? Das verwirrt mich gerade etwas.

In meiner Übung will ich zeigen:

a 0

irreduzibel

\Rightarrow F

irreduzibel, was nun äquivalent wäre zu

a 0

reduzibel

\Rightarrow F

reduzibel, richtig?

michaL aktiv_icon

18:30 Uhr, 08.05.2018

Hallo,

nein.

Logisch sind

A \Rightarrow B

und

\neg B \Rightarrow \neg A

äquivalent. Das ist das Prinzip der Kontraposition.
Sie verkürzt gedanklich einen Widerspruchsbeweis.
Stelle dir vor, du könntest

\neg B \Rightarrow \neg A

beweisen.
Dann kannst du per Widerspruchsbeweis in der Folge

A \Rightarrow B

beweisen.
Und zwar so:

A

sei Voraussetzung.
Annahme:

\neg B

gilt.
Daraus folgt, dass

\neg A

gilt (

\neg B \Rightarrow \neg A

) hast/kannst du ja bewiesen/beweisen).
Das steht aber im Widerspruch zu

A

.
Folglich gilt

B

.
Damit gezeigt:

A \Rightarrow B

Das tatsächliche (verbale) Ausführen des Widerspruchsbeweises kann man ja offenbar immer machen. Also braucht man das nicht mehr extra zu erwähnen. Also wird es weggelassen.

So, deshalb sind gleichwertig:

F

irredzibel

\Rightarrow a_{0}

irreduzibel
und:

a_{0}

reduzibel

\Rightarrow F

reduzibel

Formal:

(F irredzibel \Rightarrow a_{0} irreduzibel) \leftrightarrow (a_{0} reduzibel \Rightarrow F reduzibel)

Es beruhigt mich außerdem ungemein, dass du nur die eine Richtung beweisen musst, weil ich tatsächlich unsicher bin, ob die Rückrichtung überhaupt gilt.
Du musst beweisen:

a_{0} irreduzibel \Rightarrow F irreduzibel

.
Und das würde ich per Kontraposition versuchen:

F

reduzibel

\Rightarrow a_{0}

reduzibel

Das ist nicht schwierig.

Mfg Michael

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18:38 Uhr, 08.05.2018

Aha, ok, da hatte ich einen kleinen Denkfehler.

Um nun zu beweisen, dass

a 0

irreduzibel

\Rightarrow F

irreduzibel kann ich nun zeigen

F

reduzibel

\Rightarrow a 0

reduzibel.

Wenn

F

reduzibel

\Rightarrow F \in R {[[X]]}^{x}

und

F

besitzt nicht nur triviale Teiler

\Rightarrow a 0 \in R^{x}

\Rightarrow

folgt nun schon

a 0

ist auch reduzibel?

Grüße

michaL aktiv_icon

18:42 Uhr, 08.05.2018

Hallo,

wie sagte einer meiner Profs immer: Herzeigen!

Wenn man was herzeigen kann, dann versuch's herzuzeigen!

Du willst beweisen: Wenn

F

als nicht triviales Produkt darstellbar ist, so auch

a_{0}

.
Nimm also ein nicht triviales Produkt von

F

her und bastele daraus ein nicht triviales Produkt von

_

.
Und beim Nachweis der Eigenschaft "nicht trivial" brauchst du die Eigenschaft der Einheiten im Ring der formalen Potenzreihen. :-)
So kommt eins zum anderen!

Mfg Michael

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